CHAPITRE XI. 6o

partielles que nous considérons est

Pi, Pa, . . . , P„ et P désignant des fonctions données des n -h I variables x, x^, x^^ . . ., Xn* On a vu (n^83) que, si

«1, Mj, ... 9 tt;,

sont des fonctions données des variables a:, ^r^ x^, •••, ^n et que $ représente une fonction arbitraire, l'équation

(2) ♦(£/!, tt,,.. .,tt„)=0

conduit à une équation aux. dérivées partielles, telle que ( i), par Télimination de la fonction arbitraire. Cherchons donc si réciproquement, Téquation (i) étant donnée, il est possible d'y satisfaire par une équation telle que (2), en déterminant convenablement les fonctions Ui, lia, • • M ^'-n qui y figurent.

En difTérentiant Téquation (2) par rapport à chacune des variables indépendantes, on obtient

d* ( duy

(au* diii\ d* fârin àu„\

ÔJTi ^ àx ] ÔUn \Ô.r^ "^ ÔJi- /

()♦ /dui , àu^\ d* fdttn . àun\

et, pour que Téquation (2) satisfasse à la proposée, il faut et il suffit que l'élimination des dérivées pt, p^, * * - , pn entre les équations (i) et (3) conduise à une identité. On exécutera l'élimination dont il s'agit en ajoutant les équations (3), après les avoir multipliées respectivement par P|, Pj, . . •, P«, et en ayant égard ensuite à l'équa-

6o6 CALGVL INTÉGRAL.

tîon ( I ) ; on trouve ainsi

du

Cette équation sera satisfaite, quelle que soit la fonction ^^y si Ton a identiquement

(4) \ dx dr^ " dx^

et nous savons (n^ 626) que ces dernières équations auront effectivement lieu si les fonctions U{, i<2, , , .^ Un ont été choisies de telle manière que les équations

i/i = const. , II) = const., . . . , «n = const»

soient les n intégrales du système d'équations simultanées

777. Par le raisonnement du n*» 775, on peut établir en outre que toute solution de Péquation (i) est néces* sairement comprise dans Téquation (a); car, soit

(6) F(.r,xi,a:„ ...,j:„) = o

une telle solution, on aura, par la différentiation,

ÔF ÔF ÔF ÔF

OX, "^ OX ' ÔXf^ '^'^ Ox