CHAPITRE XI
tirons de là les valeurs de pty p2t . . •> pn pour les substituer dans l'équation (i), il viendra
^dF ^ ÔF ^ ÔF
Supposons qu'on ait exprimé les variables jc, X|, x^y ..., Xfi, à Texception de a:/, en fonction de U| , ^3, . . . , Un et de Xif et soit
r ^x, Xj, jTj, . . ., J?^) =//■( "il "il • • • > "«> J^Z/î
on aura
dF
dx ~"
' ân^ ôx
du,,
Ou:
ÔF 0^1
àfi àu^ ^
du„
ÔXi
ÔF
df, d«t ôui dx,i
du„
ÔF ÔJCi
ÔU^ Ô.ri
ÔJCi
àfi
ÔJCi
ÔF
àui ôx^
àu„
àUn,
substituant ces valeurs dans l'équation (7) et réduisant au moyen des équations (4)y il viendra
Si donc les coefficients Pi , P2, . . ., P„ et P ne s'annulent pas en vertu de l'équation (6), on aura l'identité
ÔJCi
d'où il résulte que l'équation (6) a bien la forme (2).
6o8 CALCUL INTÉGRAL.
778. La méthode précédente fait connaître la solution la plus générale de l'équation proposée, et nous pouvons donner à cette solution le nom d'intégrale générale. Les résultats que nous avons établis se résument dans la proposition suivante :
Théorème. — Soient n -h i variables x, jti , Xi, ..., Xny dont la première est fonction des autres; pi dx\ -h pa dx^ -h . . . -hpndxn la différentielle totale dx de x;Pj P|, P,, . . . , P„ des fonctions données des variables x^ x^, j:2, >..,Xn' Pour av^oir l'intégrale générale de l'équation aux dérii^ées partielles du pre^ mier ordre
Pi/^i -»- P,/', -h. . .-f- P„p;,= P,
il suffira d'intégrer les équations différentielles ordinaires simultanées
dx /ir, dlr
P Pi P«
Si l'on représente par
«I = coDst«9 tt] =r const. , . . • , Uf^= const.
les intégrales de ces équations, résolues par rapport aux constantes arbitraires, l'intégrale générale de l'équation aux dérii^ées partielles sera
$ désignant une fonction arbitraire.
La fonction arbitraire doit être déterminée, dans chaque problème, par des conditions particulières. On peut, par exemple, se donner comme condition que x se réduise à une fonction donnée de j:^ Xa, . . i x„^i quand on attribue à la variable Xn une valeur déterminée ^n. Il est facile de voir que la fonction 4> peut toujours être choisie de manière à satisfaire à cette condition.
