CHAPITRE XI
En effety ^n désignant une valeur déterminée et/* une fonction donnée, si Ton suppose
Ui; Uo, ..., Un deviendront des fonctions des n — i variables Xif X2f • • •« ^/i— I* Soit
"« == Yn ( •'^l « •'*î> • • • » ^n— 1 J î
l'élimination de :ri, Xz, ..., x„^i entre ces équations donnera un résultat tel que
Y(tfi,«„ ...,«„) = o,
et il est évident qu'on remplira la condition démandée en prenant pour 4> la fonction Y.
Application de la théorie précédente à quelques
exemples,
779. Exemple I. — On demande de trouver l'équa^ tion des cylindres d'après l'équation aux dérii^ées par^ tielles qui appartient à ces surfaces.
Les coordonnées rectilignes étant représentées par x, ^,z, nous posons, comme à l'ordinaire, dz^pdx-i-qdj . En exprimant que le plan tangent est parallèle à une droite fixe, nous avons obtenu (n** 348), pour l'équation aux dérivées partielles des cylindres,
(i) ap-hbqz=i,
a et b étant des constantes données; il s'agit d'intégrer cette équation.
S. — Cale. int. t^
6lO CALCUL INTÉGRAL.
A cet effety nous poserons les équations simultanées
dx dy dz
OU
dx — adz=zo^ dy — bdzz=On
Les intégrales de ces équations sont
X — az = consU , y — bz=z const. ;
par conséquent, l'intégrale de Téquation aux dérivées partielles est
(2) ^[x — azy y — 6«)r=o.
Supposons qu'on veuille déterminer la fonction arbitraire par la condition que le cylindre passe par une courbe .donnée ayant pour équations
(3) t^(x,y\z] = o, ^{x,yyz)=:o.
Posons
X — az=M, y — bzz=v,
les équations (3) pourront s'écrire comme il suit :
f{u-\- aZy 9 -{- bzj z) =0, ^(m H- ac, v -h bz^ z)=iO»
Éliminant Zj on aura une équation résultante telle que
W(u, v)^=o ou y{x — aZf y — bz)zr:o;
par conséquent, il faudra prendre pour 4> la fonction V, Supposons, en second lieu, qu'on veuille déterminer la fonction 4> par la condition que le cylindre soit circonscrit à une surface donnée ayant pour équation
fi^jj^i z) = o.
Il suflira de déterminer la courbe de contact de cette surface avec le cylindre, car, cette courbe étant connue,
