CHAPITRE XI. 6ll
on sera dans les conditions du cas précédent. Formons les équations des plans tangents au point [oc, y, z) à la surface donnée et au cylindre, savoir :
Comme les plans tangents dont il s'agit coïncident, on a
dit Ô9 09 09
et, à cause de l'équation (i),
a-z — ho-3 — h-T-=o.
ox ôjr ôz
Cette équation détermine, avec celle de la surface, la courbe de contact; on achèvera la solution comme dans le piemier cas.
780. Exemple II. — On demande de trouver l'équation des cônes d'après l'équation aux dérivées par^ tielles de ces sur/aces.
L'équation aux dérivées partielles des surfaces coniques s'obtient (n^ 349) en exprimant que le plan tangent passe par un point fixe qui est le sommet de la surface. Dans le système des coordonnées rectilignes, cette équation est
p{x— Xo) H- q{x ^jro)=z— z^^
x^y y^y Zo étant les coordonnées du sommet.
Pour rintégrer, il faut chercher les intégrales des équations simultanées
dx (ÎY dz
J? — Xq y — y^ z — Zg
6ia CALCUL IIVTÉGRAL.
Ces intégrales sont
log (x — Xq )•— log ( 3 — zo ) — const. ,
l«§(r--ro) — log{« — «o) — const.
^^ = const. , = const. ;
il en résulte que Tintégrale de l'équation aux dérivées partielles est
4> désignant une fonction arbitraire.
On opérera de la même manière qu'au n° 779 si Ton veut déterminer la fonction 4> par la condition que le cône passe par une courbe donnée ou soit circonscrit à une surface donnée.
781. Exemple III. — Trouver l'équation des surfaces conoïdes d'après leur équation aux dérivées partielles.
L'équation aux dérivées partielles de ces surfaces s'obtient (u^ 350) en exprimant que le plan tangent en chaque point renferme la génératrice qui y passe. Cette équation est, en coordonnées rectiligncs,
pjc -h qy = o,
lorsqu'on prend la directrice pour axe des z et le plan directeur pour celui des xy- Pour l'intégrer, on cherchera les intégrales des équations simultanées
dx
dy
dz
qui sont
- = const., z = const. ;
cnAPiTiiB XI. • 6i3
on a donc*
pour réqaation des conoïdes, cp étant une fonction arbitraire.
782. Exemple IV. — Trouver V équation des surf aces de révolution d'après leur équation aux dérivées par-tielles.
Cette équation aux dérivées partielles est
pjr^qx=o,
quand on suppose que les axes coordonnés sont rectangulaires et que celui des z coïncide avec Taxe de la surface; on l'obtient (n^ 351 ) en exprimant que la normale rencontre Taxe.
Ici il faut intégrer les équations simultanées
fix fiy dz
ou
xdx -\-xdx = 0, dz'= o;
les intégrales sont
«• -*- j^ = const., z = const. ;
donc rintégrale de Téquation aux dérivées partielles est
tf désignant une fonction arbitraire.
783. Exemple V. — On demande d'intégrer l'équation aux dérivées partielles
oùf{x^j) désigne une fonction donnée^
6l4 CALCUL INTÉGRAL.
Les équations différentielles ordinaires qu'il faut considérer sont ici
cix dy dz
ou
/ V djr dx dz z ffî^, r)
