X -^ 3C^ — ■ I X ~~' Xq J
ce qui donnera
jr, — j-o ^ f .r, — ;r„ ) r 2 ( Xj — .rg) ^r//
et, après la substitution de ces valeurs, on aura encore
4>(t) étant une fonction rationnelle.
424. Exemple. — i** Supposons que l'on demande d'intégrer la différentielle
dx dx
const.
la première transformation donnera
ou, en remettant au lieu de t sa valeur j: H- X,
/, ^=z log (x-\ h ^a -h bx -^ X* j H- coQSt.
2** Supposons qu'on demande d'intégrer la différentielle
%dx rrr ^a -+- bx -+- X* dx\
28 CALCUL INTéGRAL.
la première transformation donnera
d'ailleurs les quantités t -\ — et ^ ont respectivement
pour valeurs j:H hX et — x |-X;ona donc
H la ^^- j log [ -r H h \/a -h />.r -4- .r- j -t- const.
II faut remarquer qu'on peut ramener Tinlégrale proposée à celle du premier exemple, en faisant usage de rintégration par parties. On a effectivement, en appliquant ce procédé,
7 J Jn-\-
>x -\-jr'
d'ailleurs
r 1 ?/ ra-hhx-hx^ ^
I ^ u -^ 0 r -r- .r^ €/x z= I — <xg,
~~ dx\
cHAPtruE I. ag
et, en ajoutant cette formule à la précédente , il vient
J %J y «-f-^.r -T- ar-
ia partie sous le signe I du second membre de cette nouvelle formule est égale à la somme
dx
la première partie est connue par Texemple I, et la seconde partie a évidemment pour valeur - ^a-f-èx-f-x-;
on retrouve ainsi le résultat déjà obtenu. 3** Soit encore la différentielle
(a H- ^x)dx
—zr: 1 <»
^a -\- bx -h .1-
qui se rencontre fréquemment et dont Fintégrale se déduit immédiatement des calculs que nous venons d'exécuter. On a
[a-^^x)dx ( b^\ ', dx \ 2/
Sja -¥-ba'-^x^ ^ '^ / ^a-^ bx-\- x* ^a-hbx-^x^
et, en intégrant,
I = = ( a log .rH h slcu-^- bx-^x'^X
J yja^bx-^x^ \ 2 y ^ V 7. " )
H- 6 ^a -+• bx -4- X* -h const.
42S. Considérons maintenant le cas où Ton a
X= ^a -^ bx — .r* •
Pour ramener la différentielle F{x, X)rfa: à la forme
3o CALCUL INTÉGRAL.
rationnelle, on peut employer la deuxième ou la troisième transformation du n° 423^ lorsque a est positif. Dans le cas de a <^ o, on devra se borner à la troisième transformation, si Ton ne veut introduire que des quantités réelles.
I** Supposons a ^ o, on fera
et, en élevant au carré,
d'où
b — a^v/a ^-i- bt — t^Jâ
XT- — î X=: -r '—
IH- /* I -h f •
t^a -\- ht ^ t^^la
^/X — — 2^— ^-- dt'.
la substitution de ces valeurs donnera
T{x^X]dx — ^[t)dt^
4>(f) étant une fonction rationnelle.
2® Quelle que soit la constante a, Téquation X'= o a toujours ses racines réelles; car autrement Texpression X serait imaginaire. Nous n'excluons pas ce cas de notre analyse ; mais, comme la fonction X est alors égale
à \j — i v' — ^ — hx-r- y^ , on rentre dans le cas du n^ 423. Désignantdoncpar jTo» Xj les racines de l'équation X^-=o et supposant x^^ x^y on aura
Pour effectuer la transformation que nous avons en vue, il faut poser
X rr: ^ JT — Xq ) / OU X^ — X rzz <x — X^) t*.
coa^ithb I. 3i
doù
JT, -J-.ro/' (^, — Xolf . 2f.r, —.ro )?/-//
Xu: - — 9 A= r 5 €lXZZZ 9
ce qui donnera encore
4>(/) étant une fonction rationnelle.
426. Les diverses transformations que nous avons employées permettent de résoudre tous les cas qui peuvent se présenter; mais il n'est pas toujours nécessaire d'en faire usage, et il peut arriver que d'autres transformations conduisent plus aisément au résultat demandé.
Considérons, par exemple, la différentielle
dx
^a -i- bx — ^•* on peut récrire comme il suit :
dx
et l'on aperçoit sans peine qu'elle se réduira à la forme élémentaire — __ .^r? au moyen de la transformation
car
dx = dt^I a -r- -r
ct
on a donc
/dx C à^
~^^— -^=r — :=. = j - - ~ arc smr 4 const
3*2 CALCUL lirriGTIAL.
ou
= arc sin ^.^=r--^^ -^- const.
Ce résultat permet d'obtenir immédiatement la valeur de l'intégrale
car cette intégrale peut être décomposée en deux parties, savoir :
/ ^£€\ r dx g / Jl.
la première partie est précisément l'intégrale que nous venons de déterminer à un facteur constant près, et la
seconde partie a pour valeur — S ^a-^bx — ju-,
427. On peut encore ramener à la forme rationnelle une différentielle de la forme
F (x, ^a -h 6 -c , \'a -r- b' x) elr^
F désignant une fonction rationnelle des trois quantités x,
yja -h bx , \ja' H- b'x . Ce cas rentre effectivement dans celui que nous venons d'examiner; car, si l'on fait
a'-+-fcj:=/% x=~--^y dx=z--tdt,
la différentielle proposée se réduira à la forme
T désignant la racine carrée d'un polynôme du deuxième degré, et 4> étant une fonction rationnelle.
cnAPiTRE r.
Etude des différentielles algébriques qui ne renferment pas d'autres irrationnelles que la racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré.
428. Le cas le plus simple des difTérentielles algébriques^ après ceux que nous venons d'examiner, est celui d'une dilTérentielle de la forme
X désignant la racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré, et F(j:, X) étant une fonction rationnelle de x et de X. Les intégrales des différentielles algébriques que nous avons considérées dans les numéros qui précèdent sont exprimables, comme on Ta vu, par des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires ; il n'en est plus ainsi, en général, à l'égard de la différentielle ^fV dont nous allons nous occuper. De l'étude que nous allons faire résultera la nécessité d'introduire dans l'analyse trois éléments nouveaux auxquels Legendre a donné le nom de fonctions elliptiques, et alors l'intégrale V sera exprimable par les fonctions algébriques, logarithmiques, circulaires et elliptiques. Soit
on doit supposer que le polynôme qui figure sous le radical de cette formule n'a pas de facteurs linéaires multiples, car autrement la différentielle dW appartiendrait à la classe de celles. dont nous nous sommes occupé aux n©» 423 et 425, et l'intégrale V serait exprimable parles seules fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires; ainsi, en particulier, les coefficients d et e ne peuvent être nuls tous deux, mais on peut avoir e = o.
s. — Cale, int, 3
Il convient de chercher d'abord à simplifier l'expression de la difTéreDtielle <A^ ; nous alloos démontrer que, si les constantes qu'elle renferme sont réelles, on peut toujours, au moyen d'une substitution linéaire et réelle,
lui donner la forme
dV = t{c, T)dt, T désignant un radical de la l'orme
dans lequel ). et fi sontdes constantes réelles, et4> étant une fonction rationnelle de t et de T.
429. Supposons d'abord que e ne soit pas nul; le polynôme qui figure sous le radical de la formule (a) peut toujours être décomposé en deux facteurs réels du deuxième degré, et, en conséquence, on peut écrire
— 2gJ
-ig-^^.-)
Cela
étant, «
>na.
par la
substitution (3),
7Gf-i-nt*
■'ar+jj
en faisant, pour abréger,
/F -f-isp-*-!'*, r^f~itg'p^p*,
(5) (G --f^g{p + q) — pq. G' ~—f -i-g'{p -\-q) ~pq,
( H =/- 3ff9 + î'. H' ^f ~^s-q + g»,
et si l'on pose en outre
