CHAPITRE
on aura
d'ailleurs la formule (3) donne
la différentieUe ^V deviendra donc, par notre substitulion,
(9) dV = <^{t,l)dt,
^ étant une fonction rationnelle, et ainsi elle conserve sa forme primitive.
Mais nous avons introduit deux indéterminées p et q^ dont nous pouvons disposer pour faire disparaître les puissances impaires de t sous le radical de la formule (6*); il suffît effectivement de poser G=o, G'=o, c'est-àdire, à cause des formules (5),
On tire de là puis
Écartant le cas de g = ^y sur lequel nous reviendrons
tout à rheure, on voit que la formule (ii) détermine,
avec la première des formules (lo), les coefficients peiq
de la substitution. Il faut prouver qu'on peut toujours
•faire en sorte que ces coefficients soient réels.
36 CALCUL IIVTÉGRAL.
Désignons par ay b, c, d les quatre racines de Téqnatîon X^=o, et posons /= ai, g =^ — —y J^' = cdy
g^= — ^ Remplaçons^, g,/', g^' par leurs valeurs dans
l'expression de p — ^, on reconnaît que la quantité placée sous le radical s'annule pour a =:= c ou a = rf, et de môme pour 5 = c ou i = rf; il en résulte que Ton a
Jia^c] iâ~-^l) {h-^c][b — d\ '^ ' a-^ b ^ c — d
Si les quatre racines sont réelles, on supposera
Si deux racines sont réelles et deux imaginaires, on prendra pour a et pour b les deux racines réelles; les deux facteurs a — c, a — t/, étant conjugués, ont un produit réel; il en est de même des facteurs b — c, b — d.
Si les quatre racines sont imaginaires, on supposera que a et 6 sont deux racines conjuguées. Les deux facteurs a — by b — d seront conjugués et de même les facteurs a — dy b — c.
Dans le cas de ^=gy on résout immédiatement le problème proposé en posant
Remarquons, enfin, que les formules (7) et (8) donnent
par la division
dx dt
V désignant une constante déterminée.
430. Il nous reste à examiner le cas de e = o. Alors le polynôme qui figure sous le radical de la formule (1) est
CHAPITIIB I. 37
décomposable en deux facteurs réels, l'un du premier degré, Tautre du deuxième degré. On a
et, par la substitution (3), il vient
F--aG/-hll/*
/ — 2gX -+- .r* =
F, G, H ayant les valeurs données par les formules (5). Les formules (6) et (7) subsistent donc dans ce cas, pourvu que Ton écrive — J au lieu de €, et la première puissance de t disparaîtra de chaque facteur placé sous le radical, si Ton a G = o, G'= o, c'est-à-dire
on tire de là
— -l=flf, pq = 'lga-^f
et
'- ^ =r yja^— 7.ga -+-/ = ^[a — b) [a — c),
b etc désignant les deux racines du trinôme x^ — ifx -\-g- Si les racines i et c sont réelles, on prendra pour a la plus grande ou la plus petite des trois racines du polynôme X^. Si i et c sont imaginaires, le produit des facteurs conjugués a — bf a — c est positif.
431 • La fonction rationnelle 4> {ty T) peut être mise sous la forme
38 CAItCVL IHTÉCBiL.
M, N, M', N' étant des fonctions entières de /* et de T, et, en multiplianl les deux termes de cette expression par M' — N't, on lui donnerais forme
P et Q étant des /onctions rationnelles de t' et de T. Ainsi la difTérenticlle proposée dV sera
dV = Pdt'^ Qtdl.
Mais si l'on fait u — t*, du z=iitdt, le terme Qt(/t se
réduira à ~ Q du, Q étant une fonction rationnelle de u
et de la racine carrée d'un trinôme du deuxième degré; par conséquent l'intégrale de Ja différentielle Qtdt est exprimable, d'après ce qui a été établi précédemment, par les fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires.
Quant à la partie Pdt, elle est évidemment de la forme
M, N, M', N' éunt des fonctions entières de ï", et, si l'on multiplie les deux termes parN' — ^ i on aura
<^{t') et (f(f=) étant des fonctions rationnelles de t>. La différentielle i|i {(')rf( est rationnelle, et en conséquence son intégrale est algébrique, logarithmique et circulaire; si donc on fait
