Nous devons faire remarquer que Féquation

constitue une intégrale complète de Téquation proposée (i)y si Ton y regarde^^o et Zq comme deux constantes arbitraires.

En effet, dans la solution générale que nous venons de développer, on reconstruit l'équation proposée (i) en éliminant j^o et Zq entre les équations (16) et (18). Or, si, au lieu de regarder j^o etz« comme des variables assujetties à vérifier l'équation (17), on considère ces quantités comme des constantes, il est clair que les équations (18) subsisteront et continueront avec l'équation (16) à reproduire l'équation (1) par l'élimination de j^o et de z». Cette équation (16), qui renferme ainsi deux constantes arbitraires, est donc une intégrale complète de l'équation (1).

797. Exemple. — Pour donner une application de ce qui précède, considérons Téquation

Z — apq -zz o,

où a désigne une constante. On a ici

X=:0, Yr^O, Z-:=I,

r z= — aq, Q — — . apy Vp-h Qq =z — lapq = — ar,

et les équations simultanées à intégrer sont

(Ir f/r dz dp dq

aq ap 2z p V ' •

on trouve immédiatement les quatre intégrales suivantes,

£ — //. — ^^ , -^ "~ '''o __ y-^yo ^ \'g— )/±o

Po 7o y/7o ^'7a ~ ^Po y/si

et Ton élimine tout de suite po et qo entre les deux dernières en faisant usage de Téquation Zo — 0^0^0=0; on a

(y/fj- ^hoY __ (.r — .roU.r — .ro) {.r — x^)[x — Xo) ^

Zo "Vo</o «20

Si donc on fait

Vr^«[v^I-v!7{7;ôj'-(-^-'«){r--ro),

rintégrale générale de Téquation z = apq sera le résultat de Télimination de j 0 entre les équations

V - o, --- zii: O.