La méthode que nous venons de développer sup

— dx conserve une valeur finie

et déterminée ; nous allons nous occuper ici de cette inté* grale.

(ii3)

CIUPITRC XI. 637

Supposons, pour abréger, que Ton ait résolu Téquatîon (i6) par rapport à ^ et que Ton en ait tiré la valeur z = M, M étant une fonction donnée de Xy y^ y^^ Zq. Les équations (16) et (17) qui fournissent la solution cherchée deFéquation (1) seront plus simplement

et les équations (18) qui déterminent les valeurs dep et de q seront

Pour reconstruire Téquation proposée (1), il faut éliminer j^o etzo entre les équations (20) et (22) ; par conséquent la différentielle totale ^F du premier membre de cette équation s'obtiendra en ajoutant les différentielles totales des fonctions M — z. -z p, -r a,

àx '^ oy '

respectivement multipliées par des facteurs X, |ui, y susceptibles de faire disparaître les différentielles dj^ et dzQy lesquelles doivent être regardées ici comme indépendantes; on aura donc

et les facteurs X, fx, v devront vérifier les deux équations suivantes :

,()M dHI d*M

^8 CALCUL IHTÂGIIAL.

De TéquatioD (a3), on tire

cty & cause des équations (^4)»

Z c^-ccJ.ro àf^^fi ôxôzq dydy

P dM c)«iM dM d'M

Pour avoir l'intégrale dont nous avons besoin^ il faut, dans celte expression, remplacer j^ par sa valeur tirée de Féquation (21), multiplier ensuite par é/x, et intégrer entre les limites Xo et x; or on peut éviter rélimination de j^ en procédant comme il suit. Si l'on ajoute au numé-

rateurde l'expression précédente de — - 1 et que l'on en

retranche ensuite la quantité

àxJ (?'M d'M ùjrdz^ dràz^

il viendra

dxôz^\()Xfi dy dzp ôz^ ôxâjrf^) djâz^X dzp dr djp d rp dx <^3o /

d8o\dro d;<^*o dzo dj'i?^)

mais, en différentiant, dans l'hypothèse où j: et j^ sont seules variables, l'équation (21) mise sous la forme

dM\

CHAPITEB XI. 63i)

on trouve

\^x<> dxdjr^ ôXq dxdzj ^~~\df^ djràz^ ôz^ àjrdjrj "^' ce qui réduit l'expression précédente de — - dx à

Comme la fonction M doit se réduire à Zo pour x =:=:Xo

eljr =jrot il s'ensuit que, dans la même hypothèse, - -

se réduit à Tunité. On a donc, en intégrant Téquation précédente entre les limites Xo et x,

(a5) - / prf^rzrlog