L'analyse du n® 793 se trouve en défaut lorsque

[ - ^/x cesse d'avoir une valenr finie et dé-

terminée. Ainsi que l'a remarqué M. Bertrand, cette circonstance se présente, non pas seulement dans quelques cas particuliers, mais dans le cas le plus général. Et en effet il suffit généralement d'attribuer une forme convenable à la fonctiony(j^) ouy(j^o) ou Zq pour que l'intégrale dont il s'agit devienne infinie. Mais je dis que :

Si pour une forme particulière de la /onction /{j)

l'intégrale j - dx cesse d'avoir une valeur finie et

déterminée, les formules que nous aidons établies deviennent illusoires et sont impropres à fournir la solution du problème proposé. Celle-ci est donnée dans ce

cas par l'intégrale complète de Lagrange qui accom^ pagne l'intégrale générale.

On voit, en effet, par l'équation (aS), que, si Tinlé-

/*' Z grale 1 ^dx cesse d'avoir une valeur finie et déter-

minée pour une certaine forme de la fonctiony(j^), la

dérivée partielle -r^ devient nulle, infinie ou indéter-

minée après la substitution de la valeur de j>^ tirée de Téquation (21). Mais alors il est évident qu'on ne saurait tirer de cette équation (21) une valeur déterminée dej se réduisant à j> pour x = Xq, puisque la double

hypothèse x = Xq, y = ro doit réduire -^ à l'unité. De

ce qu'il est impossible de tirer de l'équation (21) une valeur déterminée de y se réduisant à y^ pour x :^ x© il faut conclure que l'hypothèse x^- x^ fait disparaître j' du premier membre de cette équation, et, parce que celle-ci est satisfaite quand on fait à la fois x^='X^y y = j^oî ^ €st évident qu'elle est vérifiée identiquement, quel que soit j^, quand on y fait x^^ x^. Il résulte de là quej^o disparaît de l'équation ( ao ) quand on fait x —- x^^ car la dérivée du second membre par rapport à } 0 est identiquement nulle ; cette équation donnera donc, dans cette hypothèse de x :^ Xq,

puisque nous savons qu'elle a lieu identiquement quand on fait r = J'oj ^ = ^o> et que l'on a z^ z=^f(^y^). Concluons donc que, dans le cas particulier dont nous nous occupons, la solution du problème proposé sera donnée, non plus par le système des équations (20) et (ai), mais par la seule équation (20).

CHÀPITPE XU 641

800. Nous éclaircirons ce qui précède par un exemple. Soit l'équation

¥=pZ'-pqX — aq=zo,

où a désigne une constante donnée. On a ici

X=:0, Yr=— /77, Z=zpi

aa pz

les équations simultanées à intégrer sont

— pdx q fly dz dp dq

aq "" pz "^.pqy "~ ;>* "" O

et Ton en tire sans difficulté

I I a(x — xo)

P Pi «îo

- = h (X — Jr^j» — = »

P Pu P Pu 9o

d'où, en remplaçant po ps^** sa valeur ^^ — »

^ — " ■ - =: — — — rT:Tr9

telles sont les valeurs de j^, Zy p, q en fonction de x^j^y Zqj q^. On a ensuite

Z __ __ p* aqo

S.- Cale, int. 4^

64a CALCUL INTÉGRAL.

et

- dx devient infinie sî

Ton a

«0— <7oro = o ou —- = --•,

dans ce cas, la valeur de z^ est

*o = «J^oi d'où ^0 =^ a»

a désignant une constante arbitraire. Mais, si Ton suppose à Zo cette valeur, nos formules deviennent illusoires, car elles donnent pour^ et pour z les valeurs

qui sont indépendantes de y^.

Éliminons ^q entre les deux équations qui déterminent les valeurs dej^ et z. On tire de ces équations

«5 — qlrl

\/ 1 ^0 — ^0 Jo ) * + ^ û7o ( ^ — .ro )

et, par la multiplication,

au moyen de quoi la deuxième équation, élevée au carré, se réduit à

L'élimination de q^ entre les deux dernières équations se fait immédiatement; on trouve

ciiAriTRE XI. 643

ou

c'est Téquation que nous avons désignée en général par V = o ; on en lire

formule dont le second membre est la quantité désignée par M. On vérifie aisément que l'équation

donne la valeur de j^ obtenue précédemment, et, en substituant cette valeur dans l'expression de -^9 on trouve

<^M gp — ^oTo

ce qui s'accorde avec les résultats généraux déduits de notre théorie.

Si l'on fait z^ = olj^ dans l'équation z = M, on obtient

= [• - "^y - \/(-.i)(^')("--""ir')-'

cette valeur de z satisfait à l'équation proposée quand on regarde a etj^Q comme des constantes arbitraires; d'ailleurs, elle se réduit à

pour a: = Xq ; donc elle donne bien la solution du problème proposé dans le cas où l'on suppose la fonction f(jr) égale à ajr.

644 CALCUL l^TTÉGRÀL.

Extension de la méthode précédente au cas d 'un nombre quelconque de variables indépendantes,

SOL La méthode précédente est applicable quel que soit le nombre des variables : c'est ce que nous allons établir ici succinctement, sans entrer dans la discussion des détails.

Désignons parxi, x^, , . ., Xn les/i variables indépendantes, par X la variable principale; posons en outre

et considérons Téquation aux dérivées partielles

dont le premier membre est une fonction donnée des 2«-f- I variables

X, JTi, Xj, . • ., *^ni Pu Pif • • •» Pn*

La fonction inconnue x n'est pas déterminée complètement par la condition de satisfaire à l'équation (a) ; mais elle le devient en général (n^ 788) si on l'assujettit en outre à se réduire à une fonction donnée

des n — I variables x« , Xa, . . ., x„^^ , lorsqu'on attribue à Xn la valeur particulière $;,. Alors, si Ton pose

on devra avoir, pour Xn = \ny non-seulement x = J, mais encore

Cela posé, désignons par

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