CHAPITRE I

rintégrale V sera exprimable par les fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires, jointes aux éléments nouveaux que peut contenir l'intégrale U.

432. Transfoumation du radical T. — La question que nous nous sommes proposée est ramenée, d'après ce qui précède, à l'étude des difierentielles de la forme

<f{t^) est une fonction rationnelle de t^j et T représente un radical qui a Tune des cinq formes suivantes :

oh p et ç sont des quantités réelles données ; nous excluons l'hypothèse de

T=^-l^«H-/^'j/*-Hç»)

parce qu'elle répond à une valeur imaginaire de dJJ; d'ailleurs ce cas se ramène au cinquième de ceux que

nous avons énumérés , en écrivant rfU ^ — 1 au lieu derfU.

Dans les cinq cas que nous avons à examiner, le radical peut être ramené à une même forme par un changement de variable; la forme que nous adoptons n'est pas la seule que l'on puisse choisir, mais elle est la plus commode et la plus fréquemment employée.

1" Considérons d'abord le premier cas ; supposons, ce

4o CALCUL INTÉGRAL.

qui est permis, p^<i (f^, et posons

ZL' - iu

pour que le radical T reste réel, il faut que l'on ait

'* < P* ou /• > <7*.

Si t^ est <^p^, nous poserons

et l'on aura

d'où

r/r I dx

Si t^ est > ^*, on posera

t=î, dt=.-^'''

il en résultera

T=^vC-**)('-'«-'^').

et Ton aura pour - la même valeur que dans l'hypothèse

précédente, à cause de l'ambiguïté du signe des radicaux, a* Nous pouvons encore, dans le deuxième cas, supposer p^<^g^y et nous poserons

Il faut, pour la réalité du radical T, que <* reste compris entre p' et ç^; nous emploierons la substitution

CHAPITUE !• 4^

qui donnera

et, par suite,

dt I dx

3^ Dans le troisième cas, la réalité du radical T exige que ^' soit > q ; nous ferons