X. H-X;,. +pj

parce que le déterminant D, formé avec les (/i — i)^ quantités

517' ^' *"* ~5ir'

as,' aç.' t^ï,

ne peut être nul. On a, en effet,

'^' -5^*^- ^dçT'^' ■^âlT'^' ^•••^â5±''^-"

et, si le déterminant D était nul, on pourrait former, par Télimination des différentielles rfÇi, d^^i •••! ^^/i-fi une ou plusieurs équations de la forme

Mt dx^ 4- M, dx^ -4- . . . -4- M„ dXf^ = o,

648 CALCUL INTÉGHAL.

ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas où il existe une relation entre les variables oti, X2, •-•» ocn» Celles-ci étant indépend an tes y D ne peut être nul, et les équations (8) ont lieu nécessairement.

D'après cela, le problème proposé est ramené à trouver an fonctions

ar, jTj, jTj, •••9 ^n—u Pu Pi* •••» Pn

des n variables

*!»» Çi» Çt» • • •> %«—

qui satisfassent aux 3 /z — i équations (a), (3),(4)i(7)> (8), et qui se réduisent respectivement à

pourXrt = Ç«.

802. Mais les an équations (a), (3), (7), (8) sufGsent pour la détermination des an fonctions inconnues; il faut donc que les équations (4) soient satisfaites d'ellesmêmes, et c'est ce que l'on peut établir en répétant ici le raisonnement dont nous avons fait usage au n^ 793. Supposons donc qu'on ait tiré des équations (a), (3), (7), (8) des valeurs de x, X|, X2, ..., J^u-i, pty piy ..., Pn fonctions de Xn^ Çi ? ^2y »- -> Ç/i-i et se réduisant respectivement à Ç, $4, ^2» "M Ç/i-o ^o tjj, ..., zJnpour Xrt=5rt. Désignons par T|, Ta, ..., T„ les différences entre les deux membres des équations respectives du système (4)9 en sorte qu'on ait

dx dx^ àx„^^

Si l'on différentie cette équation par rapport à X/z, et qu'on retranche ensuite l'équation (3) différent! ée préa-

CnAPITBB 'SX. 649

lablement par rapport à li, on aura

En employant les précédentes valeurs de -r^ et de -^-

au lieu de celles fournies par les équations (4) et (5), on formera une équation qui ne différera de l'équation (6) qu'en ce que son premier membre contiendra les nouveaux termes

XT-+.P ^,

ety comme tous les autres termes disparaissent en vertu des équations (7) et (8), on aura

rindice* pouvant prendre les/ï — i valcursi, 2, ...,(/2 — 1). On tire de là

1i = %ie

en désignant par G, la valeur que prend T,- pour Xn = Ç«. On reconnaît immédiatement que 0/ est nulle, el, pai* conséquent, on a aussi

pourvu que l'intégrale | — dxn conserve une valeur

finie et déterminée. Pour la discussion des cas où l'intégrale dont il s'agit devient infinie ou indéterminée, je renverrai le lecteur au Mémoire dont j'ai déjà parlé ( * ).

(') Voir le» Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LUI, ou les jénnaies scientifiques de l'École Normale supérieure, t. III.

65o CALCUL INTéGRÀL.

803. D'après ce qui précède, il nous suflit de considérer les a/2 équations (a), (3), (7) et (8). On peut même remplacer l'équation (i) par sa différentielle relative à Xnj savoir

puisque le problème proposé ne renferme aucune indétermination dans son énoncé. En remplaçant, dans la

précédente équation, -- — par sa valeur tirée de Téqua-

t,on(3),pu,s— , ...,.^— et^, ...,__ parles valeurs tirées des équations (7) et (8), il vient

Nous sommes donc ramené à trouver, au moyen des adéquations (3), (7), (8) et {9), des valeurs de a:, Xi, j:2, . . ., JCn^u Pif P2, -"y Pn qui se réduisent respectivement à Ç, Çi, ..., ln-K^ c^M c^2> •••» tJw-i pour

Xfi = Ç/j.

Les équations dont il s'agit sont, en réalité, aux dérivées partielles; mais, comme elles ne renferment pas les variables $1, Ça> • • •? $«-0 o"^ ^oit les traiter comme des équations différentielles ordinaires. On peut les comprendre dans une formule unique, savoir

dpi -.X/?i

ffx

-dpt

■t-Xpt

-HX/./

mais il ne faut pas oublier que l'équation (i) peut tenir lieu de l'une des équations contenues dans la formule ( i o) •

CHAPITaB XI. 65

804. Supposons que Ton ait intégré les équations (lo) et que Ton ait déterminé les constantes arbitraires de manière que Ton ait

pour X/, = Ç;,. Soient alors

«/ .r -—y (j:^, Si» ît» • • • » in—u 5» ^ii • • • » ^i»)»

I p^ 11Z ^^ (x,„ 5i, Çf • • • Ç/1--1» Ç. CTj, . . ..Un)

les intégrales résolues par rapport à x, J^i, ..., J'/,»!, pi, • "•> P/f L'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles proposée sera le résultat de l'élimination de

entre les n équations (i i) et les n + i équations

mais l'élimination ne sera possible, en général, que quand on aura fixé la fonction arbitraire y*. Je n'examinerai point ici les formes diverses que l'on peut donner, suivant les cas, aux équations (ii), et je renverrai pour cet objet au Mémoire déjà cité.

Remarque sur tes solutions particulières que peus^ent admettre les équations aux de'riyées partielles du premier ordre,

805. Sans entrer dans des développements que ne comportent pas les limites de cet Ouvrage, nous devons faire remarquer que l'analyse dont nous venons de faire usage permet de déterminer certaines solutions particulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Effectivement, soit F ==o une équation aux dérivées partielles renfermant les variables j:i,j:2, ,..,x„f la fonction X de ces variables et ses dérivées^!, /?2, . . ., pn', soit aussi V=o une intégrale complète de cette équation, dans laquelle figurent les n arbitraires a^ ^2* • • •> ^w

L'équation V = o pouvant exprimer telle relation que Ton voudra, quand on considère les arbitraires ai, «2, . . ., fl/î comme variables, il est évident qu'elle donnera toutes les solutions de Téquation aux dérivées partielles si les arbitraires a^ an, ..., a» sont assujetties à satisfaire à l'équation

- — flWfj -f- -: — «IfT, H- . . • -f- -r — aa„ = o. Ofti oo^ oa„

En supposant nulles les différentielles da^y da^^ . .., dan, on retombe sur l'intégrale complète; en outre, on obtient, comme on l'a vu, l'intégrale générale en établissant une relation arbitraire entre ai, aj, ..., a;,, puis en éliminant l'une des différentielles da^^ da^, . . ., da^ au moyen de cette relation et en égalant à zéro les coefficients des différentielles restantes. Mais on satisfera aussi à la précédente équation en posant

d\ dW dV