Considérons, par exemple, Téquation

qui renferme les variables indépendantes x, y, la fonction z et ses dérivées p, q ; f{p, q ) désigne une fonction donnée de p et de ^. Cette équation admet pour intégrale complète

a et i étant des constantes. L'intégrale générale résultera de Télimination de a entre cette équation et sa dérivée relative à a, si Ton regarde b comme une fonction arbitraire de a. Enfin, on aura la solution particulière en éliminant a et i entre les trois équations

Si Ton suppose que x,jy z désignent des coordonnées rectilignes, l'intégrale complète représentera une famille de plans, l'intégrale générale une surface développable, enveloppe d'un plan mobile dont l'équation renferme une fonction arbitraire; enfin la solution particulière appartiendra à une surface déterminée tangente aux plans de l'intégrale complète et aux surfaces développables de l'intégrale générale. Ces résultats s'accordent avec ce que nous avons dit au n^ 354.

Sur l'intégration d'une classe d'équations aux dérivées partielles du deuxième ordre, à deux variables indépendantes .

807. L'analyse ne possède aucune méthode générale pour l'intégration des équations aux dérivées partielles

des ordres supérieurs au premier. Il y a cependant quelques procédés qui réussissent dans certains cas, et, à cet égard, on doit surtout distinguer la classe des équations du deuxième ordre à deux variables indépendantes , étudiées pour la première fois par Monge, et reprises ensuite par Ampère dans un Mémoire qui fait partie du Journal de r Ecole Polytechnique (XVII* et XVIII" Cahiers) .Nous croyons devoir faire connaître ici les résultats auxquels ont été conduits les géomètres . que je viens de citer.

Les variables étant représentées par x, jy z, nous ferons

dz^=z pdx -^ q dj-f dp ^z rdx -^ s dy^ dq^=^ sdx H- / dv.

Cela posé, désignons par uet (^ deux fonctions données dcr, j, Zy p^ y, savoir

et considérons l'équation du premier ordre

dans laquelle ^ désigne une fonction arbitraire. En opérant comme au n^ 82, on pourra éliminer la fonction arbitraire et Ton formera ainsi une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre. Effectivement, la différentiation relative à j? et celle relative ky donnent

d^\ du du du dul ô^rôv dv dv dv \

d>V du du du dul d^fdv di*^ dv dv \ dt'tdf ' ôz dp dqj dv\^dx " dz ôp dq}

d^ d^ et, en éliminant le rapport des dérivées ^i — > on ob-