CHAPITRE XI

tient une équation de la forme

(i) Hr-4- 2K.f-f-L/-1-M-HN(/-r— ** =0,

dans laquelle H, K, L, M, N sont des fonctions données dej:,j, Zjfy q.

L'équation ( i )y de laquelle nous avons tiré l'équation (a), peut être mise sous la forme (/== ^ (u), f désignant une fonction arbitraire de u\ elle est dite une intégrale intermédiaire de l'équation (a), et le problème qui aurait pour objet V intégration de l'équation ('i) est ramené à l'intégration de l'équation (i).

808. Supposons que H, K, L, M, N désignent, dans l'équation [%), des fonctions données de Xj y y z^p, q. Il peut arriver que cette équation (a) n'admette pas d'intégrale intermédiaire ; mais, quand une telle intégrale existe, on peut la déterminer par la méthode suivante.

Introduisons avec Ampère une fonction de x et àer actuellement indéterminée, et que nous représenterons par a ; on pourra regarder j^ comme une fonction de x et de a, et, par suite, z, p, q deviendront aussi des fonctions de j? et de a. On a, par les formules relatives au changement des variables indépendantes,

/ov àz dy dz dy

^ ' d.r ' ^ dx OOL dot

dp ^ ^ ày dp dy

. Ox OJo OOL a<x

àq dy dq dy

ox ox OOL OCL

L'élimination de 5 et de f entre les trois dernières équations (4) donne d'abord

(f:\ àp dq dy dq dy ^

' ô% O.r da da dx^

656 CALCUL IMTÉGRÀL.

ensuite on a, par les mêmes équations (4)%

d'où

ôq Ôq ÔJ' doL

dx ox dy

àq

\ôx dx dx) \àx) àj' *

\dx) \dx dx dx) dy

doL

Substituons, dans Téquation (2), les valeurs de r, s^ t, rt — s^ tirées des valeurs (6) et (7); il viendra

dq

en faisant, pour abréger,

I \dx dx dx) dx \àx)

Disposons maintenant de la fonction indéterminée de x et de a qui représenter^, de manière que Ton ait ^^^o; Téquation (8 ) se réduira à $ = o ; le problème sera donc ramené à trouver quatre fonctions, j-, z, p, 7, de x et