CHAPITRE XI

de a, qui satisfassent aux deux équations (3), à Téquation ( 5 ) et aux deux équations

Si , dans la deuxième formule ( 9 ) , on remet, au lieu de -r- et de -r^ » les valeurs tirées des formules (4)i il viendra

par conséquent, l'équation ^ == o donnera

djr K — Nizhv^jK- Nj)'— (H -l- IV/)(L -t- Nr) âx "" 11 -h Nr

ou, en posant, pour abréger,

(10) G == K* — IlL -T- MN, et en ayant égard à Téquation (2),

dj K — NAdzy/G^

on tire de là

^7 T 1 ày

ou, en remettant ~ au heu de s-^t -r-^

ox Ox

(11) H ^^ -4- N ^ - K ip VG =0.

^ ' O.r ôx ^^ ^

Quant à l'équation $ = 0, si Ton y remplace II ^- par la valeur tirée de l'équation (11), elle devient

(„) llg+(K=pv'G)g-f-M = o.

Lorsque N n'est pas nul, l'équation (la) peut être rem-

S. — CaU, ini^ ^2

658 CALCUL IHTÊCllAL.

placée par la suivante,

(.3) Ng-(K.p^G).|+L = o.

que l'on obtient en éliminant -p entre les deux précédentes.

809. L'introduction de la variable a a pour effet de mettre en évidence la génération, par une courbe, de la surface représentée par l'équation aux dérivées partielles proposée. Ce paramètre a est constant pour une même génératrice, et, par suite, dcn est nulle. Les équations (i i) et (12) qui ont lieu pour cette courbe, ainsi que la première équation (3), peuvent donc être écrites comme il suit :

/ H rf/ -h N rfç — (K ri: v'G) dx ~ o,

(»4) I Hrf/?-h(Kq-v^)r/y-hM^z=o,

( d% — pdx — q djr :=.o,

La méthode d'intégration que nous avons en vue ne réussit que dans le cas où il est possible de trouver une fonction V de x^jj ^7 Pt Ç dont la différentielle totale se réduise à zéro en vertu des trois équations (i4)- On a

dV z=-j- dx-h -r- djr -^ -.- dz -^- ^^ dp -h t- dç; dx oy oz àp (fç

éliminons dp^ dq, dz entre les équations (i4) et l'équation dW =:= o ; égalons ensuite à zéro les coefficients des différentielles restantes dxj dy ; il viendra