CHAPITRE XI

d'où, par réliminalion de -r- »

+ [H;,-;-(Kr!zv/G)7j^-Mg = o,

les deux équations (i5) se réduisent à une seule quand N = o; dans ce cas, il faut substituer Téquation (16) à Tune d'elles.

La fonction V doit donc satisfaire à la fois à deux équations aux dérivées partielles du premier ordre. Réciproquement, il est facile de démontrer que, s'il existe une fonction V propre à vérifier les équations (i5), et par suite l'équation (16), on satisfera à la proposée en posant

(17) JV - 0 ou V = const.

En effet, l'équation (17) donne, par la différentiation relative à j: et à r,

^V dV ÔW dV

dx ' '^ dz dp ôq '

ÔV dV ÔV ÔV

ôjr ' az dp ôq

Tirant de là les valeurs de -r- et de -7— pour les substi-

tuer dans les équations (i5), que nous supposons identiques, il vient

-,L+N;)^-±(K±^-Nx)?^=.o, (Kq:VG-N,)g-(H + M/)g=o,

cl l'élimination des dérivées -r-> ^r- donne ensuite

dp ôq

(L + Nr) ( H -4- N/) - (K - N*)« -f- G = o,

66o CALCUL IKTÉCnAL.

d'où, en réduisant,

nr-h2K.v-4-L/-hM -+- N(r/— 5'; = o.

810. Supposons d'après cela que les équations (i5) admettent une solution commune ; si cette solution renferme une fonction arbitraire, elle donnera une intégrale intermédiaire de Téquation proposée. Or notre hypothèse sera réalisée si Ton peut trouver deux fonctions u, vde Xf^f Zj p, q dont les différentielles se réduisent à zéro en vertu des équations (i4)> csir il est évident que la même propriété appartiendra à la fonction $(//, v\ quelle que soit cette fonction $; en conséquence, on satisfera aux équations (i5) en prenant V = ^(tt, ^), et l'on aura l'intégrale intermédiaire

4»(i/, f: = o ou V =i(f[u]^

9 désignant, comme ^, une fonction arbitraire. Quant à la génératrice de la surface représentée par cette intégrale, elle est définie par les deux équations

a étant un paramètre variable.

Il reste à intégrer une équation aux dérivées partielles du premier ordre. Mais, si la quantité désignée par G n'est pas nulle, notre méthode peut nous fournir deux intégrales intermédiaires

en prenant le radical yjQ successivement avec le signe et avec le signe — ; alors la détermination de z ne dépendra plus que de l'intégration d'une équation aux différentielles totales

p et q étant déterminées en fonction de x, j-, z par les