Exemple IL — Intégrer l'équation aux dérwées

partielles

rr — 1* = o,

qui appartient aux surfaces développai) les. Les équations (i5) du n^ 809 se réduisent ici à

dr dz ày àz

Pour intégrer la première il faut regarder y^p^q comme constantes; dans l'intégration de la seconde on regardera Xj p^ q comme constantes. Alors on a, pour la première équation,

V = une fonction de z — px^y^p^ q\ e\.y pour la seconde,

ÎT = une fonction de s — qy^ x^p^qx

on aura donc une solution commune aux deux précédentes équations en posant

et l'on satisfera à la proposée en égalant à zéro celle valeur de V.

D'après cela, on a les deux intégrales intermédiaires suivantes de l'équation rt — 5' = o,

664 CALCUL IMTÉGKÀL.

cj/ et ^ étant deux fonctions arbitraires. Mais on doit remarquer qu^il existe, dans le cas actuel, une solution qui renferme une fonction arbitraire de deux quantités, savoir

Pour achever Tintégration de la proposée, il faut joindre l'équation dz = p dx -h g dy aux intégrales intermédiaires ; celles-ci donnent alors, par la diiTérentiation,

dq = f'{p)dp, xdp-^yclq-^ '^[p) dp = o;

on a ensuite, par Télimination de dq.

L'intégrale cherchée résultera donc de l'élimination de p entre les deux équations

dont la seconde s'obtient en diiTérentiantla première par rapport à p. On retrouve bien ainsi la surface enveloppe d'un plan mobile.

815. Exemple III. — Trouver les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont situées dans des f flans parallèles.

Les coordonnées rectangulaires étant x,^', z, si l'on prend le plan des zx parallèle aux plans des lignes de courbure, l'équation aux dérivées partielles des suriaces demandées sera (n^ 322)

pqr — [ I -f- />• ) j = o.

On a ici

Lmo, M — o, Nri^o, vG = ^-^^'