AN
et nous emploierons la substitution
qui donnera
d'où résulte
r/f A- dx
4*^ Dans le quatrième cas, on doit avoir f*<^ q^ pour la réalité du radical T; nous poserons
et nous emploierons la substitution qui donnera
dt=:q
-= » T = ^ or ^i — A«x%
d'où l'on conclut
dt k dx
5° Enfin, dans le cinquième cas, le radical T est toujours réel; nous supposerons p^ <^ <7^ et nous ferons
Ensuite nous emploierons la substitution
qui donne
dt= ^5 T:=/?g— -j-,
et nous aurons
dt I dx
On voit, en résumé, que si Ton pose
k^ désignant une quantité positive inférieure à l'unité, le
rapport — est égal, dans chacun des cinq cas que nous
dx avons examinés, au rapport — multiplié par une con-
stante. D'ailleurs, dans les diverses transformations que nous avons employées, le carré t^ est exprimé par une fonction rationnelle du carré x^ de la nouvelle variable x;
CHÀVITRE I. 43
donc la différentielle dU se trouve ramenée à la forme
f{x^) étant une fonction rationnelle de x*,
433. La fonctiony(j:^) peut être décomposée en une partie entière et en diverses fractions simples ayant pour numérateurs des constantes et pour dénominateurs des puissances entières d'un binôme formé par l'addition de x^ et d'une constante. Lorsque cette constante est nulle, la fraction simple correspondante se réduit au produit d'une constante par une puissance entière et négative de x^] donc chaque terme dej'{x^) sera de l'une ou de l'autre des deux formes
( I -r fl JO* )
en faisant abstraction du coefficient et en désignant.par /z une constante, par [jl et v deux entiers dont le premier peut être nul ou négatif.
Si donc on pose
l'intégrale U sera une somme de termes qui s'obtiendront en multipliant par des coefficients constants des fonctions du genre Y^, ou Z,: il nous reste à étudier ces fonctions. Considérons d'abord les intégrales Y^. On a
d'où
X?=-(i-HX»)a:-h2X»2r»;
en multipliant cette formule par — — — et en prenant
44 CALCUL nfTÉGBAL*
ensuite l'intégrale de chaque membre, on obtient
Or l'intégration par parties donne
A'*'""' ^ «ir = x«i^-»X — [211 — 3) Cnjc^^-^dxi d'ailleurs
ax
donc on a
(2) (:>.ft-i)A-*Y,-(2p-2:.(i.>^»)T,,--(2p-3)T^2 = ^*'^'X.
Nous n'ajoutons pas de constante au second membre, parce que chacune des intégrales Y^^ renferme une constante arbitraire. Il faut remarquer que la formule (2) aurait pu être trouvée plus rapidement en diflférentiant le produit j:*>'~'X et en intégrant ensuite la différentielle obtenue, mais la marche que nous avons suivie est plus analytique.
Si l'on fait, dans la formule (a), juii=: 2, 3, 4> •••> on déterminera successivement
Yji X3, Y4, • • o
en fonction de Yo, Y| et de quantités algébriques. Si l'on fait fx = I , la formule (2) fera connaître Y i en fonction de Y| et de quantités algébriques ; enfîn, si l'on y fait fjt = o, — I, — 2, — 3, ..., la même formule fera con-
