CHAPITRE XI
par le suîvaDt :
dp
Les surfaces auxquelles ces équations appartiennent admettent des lignes ombilicales (n°319) qui sont déterminées par l'équation
application de la transformation de Legendre.
816. Nous avons fait connaître cette transformation au n^ 92; elle est souvent utile dans le Calcul intégral: nous allons en donner un exemple.
Problème. — Trouver l'équation générale des surfaces dans lesquelles les rayons de courbure principaux sont égaux en chaque point et dirigés en sens contraires*
L'équation aux dérivées partielles des surfaces demandées est (n° 320)
(1) [\-\-q^)r— npqs -h (i-f-/?*)/ ~ o.
Si on lui applique la transformation de Legendre et qu'on fasse
(2) u=px'\- qx — «,
d'où
en prenant p ci q pour variables indépendantes, elle deviendra
668 CALCUL intégual.
Les équations (3) donnent
d^u ()x d^u ôjc dx
dr
Ôp^ Ôp^ dpôq dq dp
dq'
par suite, Téquation (4) peut être écrite de Tune ou de Tautre des deux manières suivantes :
En diflerentiant la première de ces équations par rapport à /; et la seconde par rapport à q, on obtient deux nouvelles équations qui se déduisent de la suivante :
i du dV
en posant U = j^, U =,)'• Et si, en ayant égard à ce résultat, on remplace u par px-^-qj — z dans Téquation (4)> on verra que Téquation (5) est encore satisfaite par \]=z. Ainsi les trois coordonnées, considérées comme fonctions ie p eiq, satisfont à la même équation aux dérivées partielles du deuxième ordre.
La méthode du n^ 809 n*est pas applicable à Téquation(5); cependant les équations (i5)dece numéro, adaptées aux notations actuelles, sont satisfaites par une fonction V des deux seules variables /7, q, et, en égalant cette fonction à une constante arbitraire a, on aura une intégrale particulière de Téquation (5). La même intégrale peut aussi s^obtenir par la première des équations (i4) du n^ 809, savoir
(i -h /?* ) dq — {pq ri: y'— i — /^'— q^)dp •=. o.
chapithe XI. 669
Celle équationdifTérentiée dans l'hypothèse de r/^=:const.
donne
— r=:z COnst.
Je représenterai la conslante par a ou par o, suivant
qu'on prendra le radical^/ — i — p'^ — q- avec Tun ou l'autre signe. Ainsi Ton aura
(6) ^ I -:- p*^a{pq H- V'- I -- /'* - 7'),
L'équation (5) étant satisfaite quand on donne à U la valeur de a ou celle de 6, il est évident qu'elle se simplifiera si l'on prend a et S pour variables indépendantes au lieu de/; et q. On tire des formules (6)
p -- cnq -4- V^— I — «S p — ^jq-^ y/— I — G*,
d'où
a^/ I Ç» — Ç^ , a^ V^,C» — sj—x — a}
Cl Ton trouve que l'équation (5) se réduit à
da dé "-"''' dont l'intégrale est
$ et ¥ étant deux fonctions arbitraires. Ainsi l'on peut écrire
({» et <p étant des fonctions arbitraires. Dans l'hypothèse
670 CALCUL INTÉGÏÏÀL.
de q constante, on a
cj (7) étant une certaine fonction de q. Dîfférentiant par rapport à r/, iJ vient, par les formules précédentes,
Mais, comme r est de la forme <!>(«)+ 4^(6), il faut que ^{q) soit une constante ; alors on peut fondre cette constante dans les fonctions arbitraires cp, ^j ce qui revient à la supposer nulle ; donc on a
j-=[f(«)-«/(«)]+[-H«)-ef(e)]-
La fonction o(f ) étant constante, elle se confond avec les intégrales qui figurent dans la précédente valeur de u et dont les limites inférieures sont arbitraires. De cette valeur de u on conclut celle de z par la formule (2), savoir
Ainsi, l'intégrale de Téquation proposée résultera de Télimination de a et de S entre les trois équations
; JT— ^'(a)-+-f (6), <j.^/(a).-a/(a)-f-^(e)-ef[e),
OÙ <p et<|^ représentent deux fonctions arbitraires. Bien que CCS formules (7) soient compliquées d^imaginaires.
