CHAPITRE XI

elles n'en représentent pas moins une infinité de surfaces réelles.

Des équations linéaires aux dérivées partielles,

81 7. Considérons une équation aux dérivées partielles d'un ordre quelconque et à un nombre quelconque de variables indépendantes, mais qui soit linéaire relativement à la fonction inconnue et à ses dérivées partielles. Il est évident que, si l'équation a un second membre, il suffira de connaître une solution particulière de l'équation pour faire disparaître ce second membre.

Si l'équation proposée n'a pas de second membre, elle jouira des deux propriétés que nous avons établies aux qOs 724 et 725, dans le cas des équations linéaires ordinaires, savoir : i^ si l'on connaît une fonction qui satisfasse à l'équation aux dérivées partielles, on obtiendra une solution plus générale en multipliant la fonction dont il s'agit par une constante arbitraire; 2® si des fonctions données, en nombre quelconque, satisfont à l'équation, la somme de ces fondions y satisfera aussi.

Lorsqu'il s'agit d'une équation aux dérivées partielles, linéaire et sans second membre, dont les coefficients sont constants, les propriétés dont nous venons de parler permettent d'obtenir une solution de l'équation qui renferme autant de constantes arbitraires que l'on veut; quelquefois même elles conduisent à une solution qui renferme des fonctions arbitraires. Pour le montrer, nous considérerons le cas où il n'y a que deux variables indépendantes x, y\ mais notre raisonnement pourra s'appliquer à tous les cas.