Soit l'équation linéaire aux dérivées partielles

, , lu àz , dz\ ( d^z d*z d'z\

6j1 CALCCL INTÉGRAL.

d'un ordre quelconque n et dont les coedGcienta sont constants.

Remplaçons z par e""*"^-^'; le résultat de la substitution sera e""*^^y(a, 6), en posant

Si donc l'équation

est satisfaite par a = «©, ? = S©, et que Cq désigne une constante arb i traire , on satisfera àréquatîon(i)en posant

et, comme l'équation (2) admet une infinité de systèmes de solutions communes (a, 6), on aura une solution de l'équation (i)

(3) zzjy Ce^'^^y

renfermant autant de termes que l'on voudra.

819. Il faut remarquer le cas où quelques-unes des racines S de l'équation ( 2 ) sont des fonctions linéaires de a; alors on peut obtenir une solution de l'équation aux dérivées partielles qui renferme autant de fonctions arbitraires qu'il y a de telles racines 0. Supposons, en effet, que l'on puisse tirer de l'équation (2)

6 = moL -h n.

La formule (3) donnera, en prenant pour 6 celte valeur,

Le nombre des termes contenus sous le signe N est

indéterminé ; les exposants a de ces termes et leurs coefficients C sont arbitraires; donc la somme n'est autre chose qu'une fonction arbitraire de e-^^"'".'', ou, si Ton