CHAPITRE XI
veut, de x-^-my. Ainsi l'on aura celte solution
4> désignant une fonction arbitraire.
Pareillement, si Téquation (^) a une deuxième racine
fonction linéaire de a, on pourra former la nouvelle solution de la proposée,
et ainsi de suite. La somme de ces solutions, savoir
z = e^^*[x -{- mjr) -h e''i^*i(x-l- /W|j) -4-. . ., sera encore une solution de la proposée.
8â0. Application au problème des cordes vibrantes. — Diverses questions de Physique mathématique con* duisent à des équations aux dérivées partielles du genre de celles que nous venons de considérer. Dans ces questions, la fonction inconnue doit satisfaire en outre à certaines conditions particulières, et, pour avoir une solution complète, il faut qu'on puisse disposer des arbitraires de manière à remplir les conditions imposées. Nous nous bornerons ici au cas de l'équation du problème des cordes vibrantes, dont nous nous sommes déjà occupé aux n°» 812 et 813.
Le problème dont il s'agit consiste à trouver une fonction^ des variables x et t qui satisfasse à l'équation
et qui soit telle que l'on ait
(2) ^-=F(x), —=/(x) pourr = o,
F{x) ei/{x) étant des fonctions de x données.
s. — Caic. inc. 4^ '
6y4 CALCUL IHTÉGKAL.
En substituant e^"^^ kj- dans Téquation (i), on a
d'où Ton tire
il en résulte que Ton satisfait à Téquation (i) (n^ 819) en posant
(3) 7 = «(jî-+-a/)-l-7(j: — a/),
$ et ¥ étant des fonctions arbitraires. Il reste à satisfaire à la condition relative à £=:o; on tire de Téquation (3)
et, pour i = o, les équations (3) et (4) donnent
dr
Pour satisfaire aux équations (2), il faut poser
*(x)-+-V(ar)=F(x),
^{j:)^W[x)=^J /(x)dx = F^[x]',
on aura donc
Wix)=lF{x)^^F,{x],
et par suite
___ F{x-hat)'h¥{x — at] F^jx-j-nt) — F, {x — at)
De l'intégration des équations aux dérivées partielles par les séries ou par les intégrales définies.
821 . Les cas dans lesquels on peut Intégrer exactement les équations aux dérivées partielles des ordres
CRAPITRE XI. 675
supérieurs au premier qui se présentent sont très-peu nombreux, et Ton en est réduit, dans les applications, à essayer d'obtenir les inté^ales par la voie des séries. Mais ce procédé lui-même n*est guère applicable que dans le cas des équations linéaires ; on peut alors employer la formule deMaclaurin ou celle de Taylor, comme dans le cas des équations diflférentielles ordinaires. La méthode des coefficients indéterminés est souvent préférable, et elle offre plus de généralité, car elle permet de trouver le développement des intégrales en série ordonnée suivant les puissances d'une fonction quelconque des variables indépendantes.
On peut ainsi représenter les intégrales des mêmes équations par des séries diverses qui souvent difi'érent entre elles par le nombre des fonctions arbitraires; il en résulte cette conséquence qu'on ne saurait indiquer a priori le nombre et la nature des fonctions arbitraires qui doivent figurer dans l'intégrale la plus générale d'une équation aux dérivées partielles d'ordre supérieur au premier.
