Considérons par exemple l'équation

, . du d^u

^ ' dt ax^

que l'on rencontre dans la théorie mathématique de la chaleur et où a désigne une constante donnée. On en tire, par la difiiérentiation relative à t,

676 CALCUL IKTÉGRAL.

et, si Ton donne à t la valeur particulière ^0, les équations ( I ) et (2) détermineront les valeurs correspondantes des dérivées successives de u relatives à t. Mais la valeur de u demeure une fonction arbitraire de a: ; en la désignant par Ffx), on aura, par la formule de Taylor,

rt»F"(.r),

expression qui ne renferme^ comme on voit, qu'une seule fonction arbitraire F ( a: ).

Supposons maintenant qu'on veuille développer u suivant les puissances ascendantes de x — Xq, Xq étant une quantité déterminée choisie à volonté. L'équation (i) donnera

d'// I du

puis

ôx'

ôyu

ox

-dt '

dt '

âx

dt* '

de

da

Les valeurs de u et de y qui répondent à x=aro sont

citàpithe XI. 677

des fonctions arbitraires de t; si on les désigne respectivement par 9(f) et ^{t)y les formules (4) et (5) détermineront les dérivées successives ^-=- ? - — » • • • ? et Ton aura, par la formule de Taylor,

I ^ ' i,*i.6 a i.^.3.4«5 rt

Cette expression de u se compose de deux séries distinctes, et elle renferme deux fonctions arbitraires cp(f), (f(f). Cependant la formule (6) n'a pas plus de généralité que la formule (3) ; Poisson a montré effectivement que les deux formules peuvent être transformées Tune dans Tautre, dans Thypo thèse de la convergence des séries [Théorie mathématique de la chaleur, p. i37).

823. Au lieu de développer les intégrales en séries, il y a quelquefois avantage à les représenter par des intégrales définies; il nous suffira de présenter un exemple de ce genre de calcul, et nous choisirons à cet effet Téquation dont nous venons de nous occuper, savoir

du d^ a

Appliquons à cette équation la méthode du n°818; la substitution de e**"^?' à u donne

et, par conséquent, on a cette solution de notre équation qui renferme un nombre indéfini de constantes arbi-

. IBTiOHAI..

IrairesC, C «, « Or on a (n" 498)

donc on peut écrire

La série

Cc"+C,e".'^-t-...

csl propre à représenter une fonction arbitraire de ** ou, si l'on veut, une fonction arbitraire de x; si on la désigne par F( jr), la valeur de ii sera

-awv'«t)c-

elle se réduit à F{x) pour t = o, et, par conséquent, elle coïncide avec celle qui est donnée par la formule (3) du n° 822 quand on suppose dans celle-ci fg^o. Toutefois, il faut remarquer que la formule précédente ne subsiste que si la fonction F(x)est telle que le produit e~^^V[x) s'annule quand x devient infini.

L'analyse dont nous venons de présenter un aperçu est surtout intéressante au point de vue des applications ù la Physique mathématique; les Traités spéciaux, tels que celui de Poisson, en offrent de nombreux exemples; aussi crojons-nous inutile d'entrer ici, à ce sujet, dans clos développements plus étendus.