DE LÀ MÉTHODE DBS VARIATIONS

Définition des variations d'un système de variables qui dépendent de l'une d'entre elles.

824. Soient jcretj^ deux variables qui dépendent Tune de Taulre, en sorte que Ton -ait

Si l'on regarde jc: et j^ comme des coordonnées, Téquation précédente représentera une courbe, et, si Ton veut comparer cette courbe à celle que représente une autre équation quelconque

on pourra les comprendre Pune et Tautre, et cela d'une infinité de manières différentes, dans une même famille dont Téquation

renfermera un paramètre variable a. La fonclion F doit être choisie de manière qu'elle se réduise successivement ày*et ày*4 quand on donne au paramètre a deux valeurs particulières; par exemple, on pourra poser, en désignant par tto 6t ai deux valeurs déterminées quelconques de a,

68o CALCUL IHTÉGUÀL.

car cette formule donne

Ety si Ton veut avoir la fonction la plus générale F(x, a) qui remplisse la condition que nous exigeons, il est évident qu'il sufïïra d'ajouter à l'expression que nous venons de former une fonction arbitraire de jc et de a, assujettie à la seule condition de s'annuler, quel que soit x, pour a = ao et pour a = ^i .

Lorsque l'on fait varier a de ao k ott, la courbe représentée par l'équation ( 3 ) coïncide d'abord avec celle que représente l'équation (i), puis elle se déforme continuellement et vient enfin coïncider avec la courbe représentée par l'équation ( 2).

Si l'on veut comparer entre eux deux arcs des courbes (i) et (a) compris entre les ordonnées qui répondent à deux valeurs données Xo et Xde x, on pourra supposer que, quand a varie de «o à ^o l^s divers points du premier arc viennent coïncider respectivement avec les points de l'arc de la seconde courbe (a), en se mouvant sur des parallèles à l'axe des j^; alors les points des courbes (3) qui répondent à une valeur de x comprise entre 0:0 et X seront correspondants,

825. Quels que soient les arcs des deux courbes que l'on veuille comparer entre eux, on peut toujours considérer le deuxième arc comme obtenu en déformant le premier, c'est-à-dire en faisant décrire certains chemins aux divers points du premier arc^ les extrémités de chacun de ces chemins seront des points correspondants des deux courbes. Mais la déformation dont je viens de parleb peut se faire d'une infinité de manières différentes, et c'est ce qu'il nous faut expliquer ici.

Soient AB et Â|B| les arcs des deux courbes que nous voulons regarder comme correspondants. Nous