CHAPITRE XII

pouvons choisir arbitrairement les courbes MN et M, N| sur lesquelles se mouvront les extrémités A^ B du premier

arc pour venir coïncider, après la déformation, avec les extrémités A4, 64 du deuxième arc. En outre, en opérant comme nous Tavons fait au numéro précédent, nous pourrons comprendre les deux courbes MN, M^ N| , et cela d'une infinité de manières différentes, dans une même famille de courbes qui seront représentées par une équation

(4) ^(.^,7,0=^Oi

où t désigne un paramètre variable ; les courbes MN, M|N| répondront à deux valeurs déterminées t^, tt du paramètre t. Soit aussi

(5) F(:ir,r, «) = 0

Téquation d'une famille de courbes qui comprend les deux courbes ÂB, A4 B4 que nous considérons, et supposons, comme au numéro précédent, que ces deux courbes répondent aux valeurs Aq, cct du paramètre a.

Les systèmes de courbes (4) et ( 5)détermineront tous les points du plan, car, si Ton fixe les valeurs de x et de j^, ces équations feront connaître les valeurs de / et de a. On peut ainsi regarder x cl y comme des fonctions de t et de a; supposons qu'on tire des équations (4) et (5)

Si Ton fait varier t en regardant a comme constante, leséquations (6) détermineront une courbe du système a, lequel comprend les deux courbes données AB, Â| B| . Si, au contraire y on fait varier a en regardant t comme constante, les équations (6) appartiendront à une courbe du système i, lequel comprend les courbes MN, M|N|, et chaque courbe du système t coupera les courbes données et les autres courbes du système a en des points que l'on pourra regarder comme correspondants.

826. Les considérations précédentes s'étendent d'ellesmêmes au cas d'un nombre quelconque de variables qui dépendent de l'une d'entre elles. On peut effectivement énoncer la proposition suivante :

On peut toujours, et cela d'une infinité de manières, trouver n fonctions 4», Y, II, ... de deux ^variables t et CL telles que, en posant généralement

on ait respectii^ement pour les valeurs a^ct oi^deoL

(8) l'^^'^olO' ^ = ^o(0i z = m^[t), ..., et, pour les valeurs t^^t^ du paramètre f,

(9) (•^=^*o(*)' ^^^ot»;* -2 = no(a), ...,

quelles que soient les fonctions données fo» ?o ^'o» • • • > $Q, $1, ^oj • • • • Il est é\^ident, toutefois, que les fonctions <^q^ ^^0,110, ... dois^ent être égales respectivement à cfo» 4*0) ^o> • • • quand on suppose a = ot^jt = toy et à (fi, 4*0 ^M ••• quand on suppose a = a^y t=^tq\ pareillement, les fonctions $i , ^o H, , ... doivent être égales à cyo, 4'o> ^o^ ... ou à cp,, ^j, ct,, . . . lorsqu'on suppose a = «q, < = £| ou a = ai , t = t| .