CHAPITRE Xtl

Par exemple, si Ton pose

on pourra prendre pour ^[t^a) Texpression suivante,

+ i-:zik,(,)Ai^-"-B^^ifi"|,

+ ^^—^ [♦.(«)- C -îîî^^ - D -ï^^liîllî /j — r^ L «I — «0 «1 "~ «0 J

et de même pour les autres, W{t^a), ....

Les équations de la première ligne du système (8) définissent un système quelconque de variables qui dépendent de Tune d'entre elles. Si Ton prend x pour variable indépendante, elles pourront être représentées par

(lo) r=/W, «=/^*>(^), «=/('>(*)

Pareillement, les équations de la deuxième ligne du système (8) définissent un second système de fonctions

(il) jr^Ai^), Z=.f}^[x), U=/\^\X], ...,

et les deux systèmes seront compris dans le système plus général défini par les équations (7); ils répondent, l'un à Thypothèse a = ^o» l'autre à Thypothèse a = oti .

827. Supposons que l'on attribue à a une valeur quelconque déterminée; les équations (7) définiront un système de fonctions^, x, ... de la variable x. Si Ton

G4LCUL INTÉaHAL.

pose, en outre,

djr ^zf* djc, dz =. z dxj du = w' dx^

df = y^dx, dz' = 3" dx, du' = u" dx,

df = y" tlx, dz'* = z*" dx, du** = a^ dr^

les nouvelles variables j', z', u', . . . , j", -z", u", . . . pourront être exprimées, de même que x,y, z, . . . , en fonction de ^ et de a. Par exemple, la différentiation des équations (7) donne

dx = ^T — 'dt, dxr= — -^T-^dt^ dz = ~-^^^

dt

et Ton en conclut

ât

dt

dV(t,a) d*{t,a) , dn{l,a] d*{t,K)

on aura de même j'', zl', ... par une nouvelle différent tiation, et ainsi de suite.

828. Les variables x^y^Zy , , fj\ z', ... ^y^ . . . étant ainsi exprimées en fonction de t et de a, regardons t comme constante et faisons varier x de da\ x,yy z, ... prendront des accroissements dont les expressions seront

Ax =

Ar

doL -i x-z, 1- . . . ,

&¥(t, «) du.

doL'

Si Ton emploie la caractéristique $ pour désigner les différentielles des divers ordres relatives à la seule va-