CHAPITRE XII

riable a, on pourra écrire plus simplement

Ax = ^x -4-

A2 =1^ Jz H

et Ton aura aussi

Az' = ^3' -{ h . . . ,

Les difTérentielles

9xy Qjfy oz^ . , . , ajr f oz , . . . j ojr ^ ... sont dites les variations des variables

Xj Jfy 2) • ' ' y X * ^» * ' * * y •••5

elles sont relatives au passage du système de fonctions que déterminent les équations (y), pour une certaine valeur de a, au nouveau système que déterminent les mêmes équations ( 7 ) quand a. a crû de sa différentielle da. Mais nous supposerons, dans ce qui va suivre, a = «0! le système (7) coïncide alors avec le système donné (10), et les variations ix^ iy, iz, . . . , iy, ... se rapportent à une altération des fonctions de ce système; d'aillejurs cette altération est arbitraire, car le système (7) définit, pour a =: «1, un système de fonctions arbitraires, et la différence ai — «0 peut être supposée aussi petite que Ton voudra.

686 CALCUL inTéGRilL.

Les différentielles deuxièmes

(J'x, i^Xy •••» ^x\ •••

sont dites les variations du deuxième ordre des variables

de même

seront les variations du troisième ordre, et ainsi de suite.

Soit généralement

une fonction des variables x,j, z, , , .^j\z\ .... Les fonctions j^y z, . . . étant définies par les équations (lo), si Ton substitue au système (lo) le système (7) avec lequel il coïncide pour 0e = ag, les différentielles successives de V relatives à a prendront, pour a = ocq, des valeurs qui seront précisément les variations des ordres successifs de la fonction V.

Les variations n'étant pas autre chose, comme on le voit, que des différentielles, les règles de la différentiation leur sont applicables, et l'on aura, par exemple, l'expression suivante de la variation du premier ordre JV :

Les considérations que nous venons de présenter sont applicables au cas d'un système de fonctions de plusieurs variables indépendantes; mais nous ne ferons pas ici cette extension, que ne saurait comporter le plan de cet Ouvrage.