CHAPITRE I
naître successivement les valeurs de
en fonction de Yo, Y| et de quantités algébriques. Ainsi la considération des intégrales Y^ conduit seulement à deux fonctions élémentaires nouvcllesY© et Y| .
434. Occupons-nous maintenant des fonctions Z^; rindice v est pour nous un entier positif, mais on doit remarquer que, si Ton attribue à ce nombre des valeurs négatives, les fonctions Z^ correspondantes seront des sommes de fonctions Y^; par conséquent, elles pourront s'exprimer par les fonctions Yo, Y| et les quantités algébriques ; on a effectivement
const.
Cela posé, on peut employer Tînlégration par parties pour obtenir une formule de réduction analogue à celle qui concerne les fonctions Y^, mais on arrive plus promptement au but proposé en opérant comme il suit. Différentions la fonction
tX
nous aurons
ensuite, si l'on ordonne les polynômes X^ et —^ par
rapport aux puissances de (i -h nx^)y on trouvera
X*~^ '-^^ i ^— = I4./IX* -i- — 1 -|./iar**.
T-^ == i i--^ ( I -+- " Jf') H r > -4- nx^y.
46 CALCUL IHTÉGRAL.
et si Ton fait, pour abréger,
.(/i-i-iif/i-h^»:
A .-rr-. (av — 2)
B ir-: (2v — 31 ■ y
on aura, par les formules précédentes, ^r ;^ — 2. il == ^^ ~ B^/Zv-i H- C£iZ», — D(iZ
d'où, en intégrant,
( 4 ) AZv - BZv-, 4- CZv--, — DZ.3 == '^'"'^
(i H-/IX*)*-»
Le coeflicient A est nul, dans les deux cas den = — i et de n= — k^; alors on a
B = — (2v — 3)(i — *«) ou B zrr -h (av — 3) --"y/-;
B n'est donc pas nul, puisque k^ est inférieur à l'unité. La formule (4) se réduit à
(5) - BZ^. + cz.., - Dz^, = ir^r^i^
et, si l'on donne à v les valeurs 2, 3, 4» •••» ^^ formule (5) déterminera successivement
Zi, Z{, Z|, • . »
en fonction de quantités algébriques et des intégrales Zq, Z i ou, si l'on veut, des intégrales Yq, Yj, puisque
Zq r— 1q, Z| =^ Xq -H /I X|.
Ainsi, dans le cas où i + nx^ est égal à l'un des facteurs
chapithe i. 4?
de X^y la considération des fonctions Zv n'introduit aucun élément analytique nouveau.
Supposons maintenant que n ne soit égal ni à — i ni à — h^\ alors A ne peut être nul que pour v = i . Si l'on donne à v les valeurs 2, 3, 4; • • • > la formule (4) déterminera successivement
Zj, Z39 z^, ...
en fonction de Z|, Zq, Z i et de quantités algébriques. Or les intégrales Z©, Z| s'expriment, comme on vient de le dire, au moyen de Y© et Y| ; donc la considération des fonctions Z^ n'introduit qu'un seul élément nouveau Z|. De la discussion que nous venons de faire il résulte que l'intégrale de la différentielle proposée s'exprime au moyen des fonctions élémentaires connues et d*intégrales appartenant à l'un des trois genres
*oi *ii Zj.
Les intégrales Yo^ Y|, Z| constituent effectivement trois éléments analytiques nouveaux irréductibles entre eux, dans le cas général.
Des fonctions elliptiques.
435. Supposons que l'on prenne les intégrales représentées, au numéro précédent, par Y©, Y|, Z|, de manière qu'elles s'annulent en même temps que Xy et désignons-les alors par u, $/, w\ on aura
/•' dx
r tjx
Les transcendantes m, i^, w sont dites /onctions ellîptiques ou intégrales elliptiques de la première, de la deuxième et de la troisième espèce •
Les fonctions de la première et de la deuxième espèce renferment une constante k inférieure à l'unité et qui a reçu le nom de module; la fonction de troisième espèce conlicnl aussi le module k avec une deuxième constante /z, qui est dite le paramètre. Nous avons vu que, si le paramètre n est égal à — i ou à — Ar^, la fonction de troisième espèce est exprimable par les fonctions de première et de deuxième espèce et par les quantités algébriques. On a eflcclivement, dans le cas de n = — i, par la formule (4) du n° 434,
(l — Al* J rf -+-«'( « — i') =^ — i ?
et, dans le cas de n = — /i^,
comme il est aisé de s'en assurer par la difl'érentiation.
436. Les fonctions elliptiques se réduisent aux fonctions circulaires ou logarithmiques dans les cas limites où le module devient égal à zéro ou à l'unité.
Dans le cas de A: = o, on a
/' dx sll — x^
r dx
Jq (i -4- /?.r*) ^^ — jc*
la première formule équivaut à
u = are siux;
