Théorème II. — On peut intervertir l'ordre des

688 CALCDL INTÉGRAL.

Opérations exprimées par les caractéristiques j et d,

quelles que soient les limites entre lesquelles l'intégra-tion doit être effectuée.

En effet, soit

Vdx;

V désigne une fonction donnée

V = V ^Xy y^ Zf . , , y y ,3, , » ,^ y y z , ...J

d'une variable indépendante x, de diverses fonctions j^, Zy ... de X et des dérivées de ces fonctions; elle peut aussi dépendre des valeurs de x, j^, z, . . . , y, z', ... aux limites de l'intégration.

On peut exprimer x,y^ z, ... ,^', z', . . . en fonction des deux variables tel a y .mais il faudra supposer à a une valeur déterminée oLq après la substitution de ces valeurs dans V. Alors, si to et t^ désignent les valeurs de t qui répondent aux limites Xq et x^y on pourra écrire

my-

Maintenant, pour obtenir dS, il faut différentier cette intégrale par rapport à a, et, comme les limites to, t^ sont indépendantes de a, la différentiation pourra être

exécutée sous le signe / . On

aura ainsi

Mais, commeafestune constante, onaol--^j =— ~t — y

donc