CHAPITRE XII
832. Au moyen de ces formules , on peut obtenir une expression très-simple de la variation d*une fonction quelconque de a:, de^ et des dérivées y', y" y .... Soit
et désignons par
(5) dS^y^dx-^Xdy^Vdy ^...^XWdjW
la différentielle totale de V; on aura (n** 828)
(6) JV = X(yx -f- X^y + Y'a>-' +. . . + YC»)(yr(«).
Si Ton retranche les équations (5) et (6) Tune de l'autre
dx
êx
après avoir multiplié la première par — 9 il viendra
ou, à cause des formules (3),
/ V ••, .-» ^-^ «.. -m,, d^i ^rifd*(a „^ .//"w
(7 JV=rrfV— H-Yw-4- Y' — ^-Y"-— --h...4-Y(«)--— . ^ " dx dx dx^ dx^
Si la fonction V contient d'autres fonctions de x, savoir : z, u, .,,, avec leurs dérivées zfj u', . . ., z", u", . . ., il faudra ajouter au second membre de la formule (5) les termes nouveaux
Zdz-hZ'dz'-h.. H-Urf«-4-U'rftt'-+-
et au second membre de la formule (6) les termes analogues
alors, si Ton pose
vjz=^z — z'^x, ;^ = ^tf — u'âUf ...,
6g2 CkLCVh IHTÉGRAL.
il est évident que la formule (7) continuera à donner la variation dV, pourvu que l'on ajoute au second membre les termes
Zcj -f- Z' -^ -t- . . . -MJ Y -+- U' -^ -+-
dx dx
Calcul de la variation d'une intégrale définie.
833. Proposons-nous de déterminer la variation de rinté^ale définie
(i) s== r ydx.
Nous supposerons d*abord que V soit indépendant des limites Xoy X|, qui sont, en général, variables avec a, et qu'elle ne renferme qu'une seule fonction j' de a:; ainsi l'on aura
En différentiant l'équation (i) avec la î, on a (n° 830)
- dx;
dx
Xo
d'ailleurs, comme on peut intervertir l'ordre des différentiations par d et î,
^{Vdx) = $Ydx-^Yd^x; on a aussi (n^* 832)
dx dx dx*^
en posant
dW = lLdx 4- Ydy + Y V/ + . . . + Y^'')djW
et
w = d^7 — jr'ix.
GHAri7KE XII. 693
On conclut de là
(4) ^(ydx) = d(yâx)--h(Y<^-hY'^^...-hYW^\dx;
ety par conséquent, la formule (3) donnera
La première des intégrales contenues dans cette formule est égale à la différence des valeurs que prend le produit V dx aux limites de l'intégrale ; parmi les intégrales qui suivent, celles qui dépendent des dérivées de co peuvent être transformées, au moyen de l'intégration par parties, en d'autres où ne figure que la seule quantité a>« On a effectivement
d'où, en prenant jTq et X| pour limites,
Si l'on pose, pour abréger l'écriture,
694 CALCUL IMTÉGRAL.
et
puis que Ton désigne par Fo, F^ les valeurs que prend F aux limites de l'intégration, Texpression ( 5 ) de $S deviendra, à cause des formules (6),
(9) js = (r4 — ro)H- r K»Éù?.
Si l'on remplace co, — » ^-j? ••• par leurs valeurs
iy — ycîx, jy — y 5a:, iy'—j"'^x^ ..., l'expression (8) de F deviendra
834. Nous avons supposé qu'il n'entrait dans l'expression de V qu'une seule fonction j^ de x, avec quelquesunes de ses dérivées ; mais il est évident que le calcul de la variation dS se fera exactement de la même manière si V renferme d'autres fonctions z, u^ . . . , avec leurs dérivées ^, z'\ . . .y z^p\ u'y ufj . . . , u^^\ • . . . En effet, si l'on pose, comme au n^ 832,
ij = ^z — z' $x, ^z=iu — u'^Xy ...» il est évident que la formule (4) continuera à donner la
