Soit l'intégrale définie

S= r \dT, où l'on suppose

^f Zf ... étant des fonctions dex, etj^, j'', . . . , z', . . • désignant comme précédemment les dérivées de ces fonctions. La fonction V peut dépendre aussi des valeurs que prennent les variables aux limites de l'intégrale ; quant à ces limites, elles sont données ou assujetties à certaines conditions. Cela posé, il s'agit de déterminer les fonctions j^, z, . . . qui répondent à un maximum ou à un minimum de S.

Le système des fonctions qu'il faut trouver et tel autre système aussi peu différent du premier que l'on voudra peuvent être compris, comme on l'a vu, dans un système plus général, qui dépend d'un paramètre a. Dans ce dernier système, toutes les variables x^j, Zy ... ainsi que les dérivées y, j^, . . . , ^, ... sont exprimées en fonction d'une variable nouvelle t et du paramètre oc, et

^Oa CALCUL INTEGRAL.

la même chose a lieu pour les valeurs particulières que prennent les mêmes variables aux limites, lesquelles dépendront des limites ÎQy t^ de t et du paramètre a. Après la substitution des valeurs de Xyjj . . . , Texpression de S deviendra

ce qui se réduit à une simple fonction du paramètre a.

Ainsi l'on se trouve ici dans le cas ordinaire du maximum el du minimum. La condition nécessaire pour le

maximum et pour le minimum est que la dérivée -j- ou la différentielle -r- da soit nulle : or, cette différentielle

aa

n*est autre chose que la variation de S ; donc la condition dont nous parlons est simplement

Mais on sait qu'elle n'est pas suffisante. Il faut en outre,

pour le maximum, que --^^ ou — ^ aa" soit négative et,

pour le minimum, que la même différentielle soit positive; cette différentielle est précisément la variation du deuxième ordre $^ S ; donc il faut que Ton ait

pour le maximum et

pour le minimum. Dans le cas de (}^S = o, il faudrait pour le maximum et pour le minimum que l'on eût aussi î» S = o. Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion, qui n'a pas d'objet, car, dans la plupart des cas, on sait, par la nature de la question à résoudre, s'il y a réellement maximum ou minimum. Aussi nous borne-