CHAPITRE XII. ^o

rons-nous à étudier la condition dS = o commune au maximum ou au minimum.

840. Cas ou V ke contient qu'uwe seule fonction j^ DE X. — Alors on a, dans l*liypo thèse la plus générale, diaprés la formule (16) du n^ 835,

La condition dS = o exige que l'on ait séparément

En effet, supposons que Ton ait fixé les variations relatives aux limites. Comme la déformation qui résulte des variations du paramètre a est entièrement arbitraire, la fonction cd est elle-même arbitraire, et, si K n'est pas nul, on peut choisir (ù de manière que, pour toutes les valeurs de X comprises entre Xq et Xi, elle ait constamment le signe de K ou constamment un signe contraire à celui

de K. Alors l'intégrale I Ktùdx aura une valeur dific-

rente de zéro, et elle sera positive ou négative à volonté ; par conséquent, quelque valeur que Ton suppose à Q, on pourra faire en sorte que iS ne soit pas nulle. La condition du maximum et du minimum exige donc que l'on ait

et il en résulte nécessairement qu'on doit avoir aussi

Soient

et

dVzzzXdx-^-Ydjr-hY'dy -h...^ Y(") dyi^)^

l'équation (i) pourra être mise (n° 833) sous la formo

yo4 CALCUL INTÉGBÀL.

C'est, comnie od voit, une équation différentielle dont Tordre sera en général a/z, et son intégrale renfermera 2/1 constantes arbitraires. Supposons qu'on ait trouvé cette intégrale et représentons-la par

Téquation (4) fera connaître la fonction inconnue j^, et il n*y aura plus qu*à déterminer les 27z constantes d, Cs) • • • y C2/1 de manière à satisfaire à la condition (2). Il faut, à cet égard, distinguer plusieurs cas.

I** Si les valeurs 0:0,^0, ji , • • • ,j\!""\ J^i,Ji i/i , • • - , ^r^it-i) relatives aux limites sont données, les variations de ces quantités seront nulles et Téquation (a) sera satisfaite d'elle-même. Différentions n fois l'équation (4); nous aurons des résultats de cette forme :

/=/0)(j:,C„C„...,Cîi«),

i^\ j y =y^ '\^^ Cl, Cl, .... Cj;,),

^(«-i)^yt»-i;(x,C„C„ ...,C,^).

Remplaçant alors, dans les équations (4) et (5), x,^, r'> • • • » J^""*^ d'abord par x^, jo» /o , • • • , 7^^^\ puis par X|, j^i, j', , . . . , ji'*~*\ on aura un système de a/i équations, savoir :

I X^ =y (•'^o> Cl, Cl, - . . , Cf/i),

J^'^=^f^ ' («^O» Cl, Cl, . . . , Cl;,),

y^ — y^'* ('o> Cl, Cl, . . ., Cl;,),

X\ =y (*i> Cl, Cl, . . ., Cl;,), y \ =y * '\^\y Cl, Cl, . . -, Ci„),

qui serviront à détermiaer les a/i arbitraires.