CHAPITRE XII

2° Si Ton donne seulement les valeurs de quelquesunes des a/2 quantités x^^ Jq^ . . ., jo'''~*\ ^i, j) 1, . . ., yi""*\ o^> pl'^s généralement, si Ton donne i équations

(7) Mj-=o, Mj3— o, ..., M/ r^ o

auxquelles ces quantités doivent satisfaire, on difTérentiera ces équations avec la caractéristique ^ ; les équations résultantes

permettront d'exprimer i variations en fonction des 2/2 -I- 2 — i autres; on portera les valeurs de ces i variations dans l'équation (2), et, comme les variations restantes sont arbitraires, il faudra égaler à zéro leurs coefficients. On obtiendra ainsi 2/2-4-2 — i équations, qui, réunies aux équations (6) et (7), compléteront le nombre ^n-h '^ d'équations nécessaires pour déterminer les 2/2 arbitraires et les 2/2 -f- 2 quantités relatives aux limites.

3^ Si aucune relation n'est donnée entre les quantités aux limites, les variations de ces quantités resteront arbitraires et l'équation (2) se décomposera en 2/1-1-2 équations distinctes; ces équations suffiront, avec les 2/? équations (6), pour déterminer les 4 n-r a inconnues. Ce cas est compris dans le précédent, en supposant le nombre i réduit à zéro.

Remarque. — Il peut se faire que l'ordre de l'équation (3) s'abaisse au-dessous de 2/1, et cela arrivera nécessairementsi V est linéaire parrapport à la dérivéej^ ^"^ ; ce cas ne saurait ofirir de difficultés, et nous laissons au lecteur le soin d'examiner les modifications qu'il exige.

S. — Cale, int, 4-^

2*06 CALCUL ISTËGKAL.

841. Cas ou V coktiejnt plusieurs fonctions de x, — Nous allons considérer maintenant le cas où V renferme |tt fonctions y^ 2, &t^ . . . de jt^ avec quelques^-unes de leurs dérivées, et nous supposerons d'abord qu41n*existe aucune relation donnée entre les fonctions y, z, u, . . . et la variable indépendante x. Alors la variation de riiilégrale

sera (nO 835)

et je dis que la condition dS = o exige que Ton ait séparément

et

En effet, supposons que K, H, G^ . . . ne soient pas toutes nulles et que Ton ait fixé les variations aux Umites; les fonctions a>, ^' X' * * * étant arbitraires, on peut les choisir de manière que pour chaque valeur de or comprises entre Xq et X\ elles soient respectivement de même signe que K, H^ G, ..., ou, si Ton veut, de

signe coiBtraire à K., H, G, Alors Tintégrale qui

figure dans Texpression de dS aura une valeur différente de zérc^ et dont le signe peut être pris à volonté; il en résulte qu^on pourra toujours faire en sorte que dS ne soit pas nulle. Ainsi Ton doit avoir

K ^^ o, H ^^- o, G -- o, . . . , et par suite aussi

Çr--:0.

Les premières équations constituent «a sjslème d'é-

quatîons simultanées dont on devra d*abord chercher les intégrales. Il faudra ensuite satisfaire à Téquation Ç=o, et déterminer les arbitraires introduites par Tintégration, ainsi que les quantités aux limites, si celles-ci ne sont pas données; cette recherche n'offre aucune diffi' culte, après ce que nous avons dit au numéro précédent; ta marche à suivre est en effet exactement la même.

842. Il nous reste à examiner le cas où V renferme plusieurs fonctions j', z,i/, . . . de or, liées à la variable par une ou plusieurs équations données. Soit

*(Ar»5, «, . . .):^-^o

une telle équation. En la différentiant avec la caraciérislique d, puis avec la d, on a

-r- Jx -4- V- ^J 4- T- ^3H- -T- ^u 4-, *.3=<X Ôj: Ôjr ôz âa ^

^- rfr -f- -r- ^/ -h -7- tfi 4- ^^ du-h, . .^^O: OX OJ ôz ou

si Ton retranche ces équations Tune de l'autre après avoir multiplié la seconde par -j- et en se rappelant que Ton a

dy dz

jy — -^ Jx r= w, ^Z — -r- àx -- O, . . , ,

dx dx

il viendra

0/ ôz ou

Ainsi, à chaque équation donnée entre x,y, 2, i/, . . .

répond une équation linéaire entre ot>, o, ;^, Si le

n€M»bre de ces équations est égal k î, tm potirra exprimer i des quantités co, tj, ;^, ... en fonction des fi — i autres, et, en substituant les valeurs trouvées dans l'expression

^o8 CALCUL IUTTÉGRAL.

de JS, il viendra

JS

= g-h r '(K'a>-|-II'BT-hG'xH-...)^'^-

Les fjt — i fonctions restantes «, cj, ;^, ... étant arbitraires, le raisonnement du numéro précédent montre que Ton a

avec

Les premières équations, jointes aux i équations données ^{jc^j', z,u, . . .) = o, . . ., constituent un système de p. équations simultanées qu'il faudra intégrer. L*équation (/= o servira ensuite à déterminer les arbitraires et à achever, s'il y a lieu, la détermination des quantités aux limites.

Supposons que la fonction V ne renferme que deux fonctions j', z liées à x par la relation

*(•'•,.>■»«) — o; on aura

»uis

d* d* ,, - ôr

dr dz ' d^

^^""5^ / di ^"^-^^

dz dj

Tz

les conditions du maximum et du minimum seront donc

K- — H — — o et (7 = o.

ôz Ojr ^ ,