CHAPITRE XII
D'une classe particulière de maxima et de minima
relatifs.
843. Après avoir montré comment on peut trouver les conditions du maximum ou du minimum d'une intégrale définie
quand on ne s'impose aucune restriction, nous avons considéré le cas où les variables qui figurent dans la l'onction V sont liées entre elles par des équations données. Il peut arriver aussi que les équations de condition renferment soit des dérivées des fonctions inconnues, soit une ou plusieurs intégrales définies. Il n'entre pas dans notre plan de développer la solution générale de cette question*, il nous suffira de traiter le cas le plus simple, celui dans lequel on se propose de rendre maximum ou minimum l'intégrale S, en imposant la condition nouvelle qu'une deuxième intégrale définie
ait une valeur donnée /. Dans ce nouveau problème, qui se ramène sans difficulté à celui du n^ 840, il s'agit de trouver les conditions d'un maximum relatif ou d'un minimum relatif.
Nous raisonnerons ici comme au d? 839 ; le système des fonctions inconnues et tel autre système aussi peu différent du premier que Ton voudra peuvent être compris dans un système plus général qui renferme un paramètre a. De plus, dans ce système, toutes les variables s'exprimentpar une même variable t indépendante de a.
^10 cAix:iiL uiTtoaiL.
et alors on a
J,, . d' J., dt
en sorte que S et S' sont des fonctions de a. Mais la
seconde de ces fonctions doit se réduire à une constante,
puisque Tintégrale S' doit conserver la même valeur dans
le passage d'un système de fonctions à un autre ; on aura
dS' donc -J- =o; d'ailleurs la condition du maximum ou du
da
minimum 3era -^ z:^ o, comme au a®839 ; ainsi Ton aura
(3) ^S:r=0, ^S'.-nO.
844. Supposons d'abord que V et V ae renferment qu'une seule fonction y de la variable x; les expressions de $S et de ^S' pourront être mises (n° 833) sous la forme
^j ¥J désignant des quantités analogues à Ç, K respectivement. Posons, avec Cauchy,
(5) r K'«d:rr^y(x); on aura, en différentiant,
(6) K'«r---y'(a:), d'oCl « = 4t^. '
Gomme f(xo) est nulle d'après la formule (5), l'expression de dS' sera
(7) ^'^qA^^[x,Y
et celle de dS deviendra, en remplaçant b> par sa
CBAPrrRE xii. 711
valeur (6),
L'intégration par parties donote
par conséquent, si Ton désigne par K|, K!^ les valeurs de K et de K! pour x >^ Xo on aura, à cause de (f (xo) =^- o,
La fonction (f{x) est entièrement arbitraire; elle est assujettie seuiemeni, par sa définition, à s'annuler pour
Cela posé 9 on voit, par la formule (7), que la condition dS'= o équivaut à
ce qui réduit la formule (8) à
La fonction f (x) pouvant être choisie à volonté, le raisonnement dont nous avons fait usage au n? 840 montre que la condition (}S = o exige
La seconde de ces équations donne, par Tintégration^'
CALCUL IKTéGIlAL.
î^— «ou
(10) K '\~ flK! =r o,
a étant une constante arbitraire; la première équation (9) devient ensuite
(n) q-^aq=.o.
Les équations (10) et (11) sont les conditions demandées du maximum relatifou du minimum relatif; on voit qu'elles sont aussi les conditions du maximum absolu ou du minimum absolu de l'intégrale
en sorte que le problème dont nous nous occupons se trouve ramené à celui qui a été résolu au n** 840. A la vérité; nous avons ici une constante arbitraire a de plus; mais nous avons aussi une équation nouvelle, savoir
845. L^analyse précédente s^applique sans modifications au cas où V et V renferment plusieurs fonctions j^, Zy ... de la variable indépendante x. On a effectivement
êS = q -^ I (KW 4- H BT -i- . . . I r/x,
Posons
d'où
K'a>-i-frcJ-r-...:::=?'(-r), « = ?^ - ~ CT
