CHAPITRE Xll. 7l
on aura ^(^Xo)= o, et la condition ^S'=o donnera cf (a:, )= — J'; en outre, l'expression de dS deviendra
âS -- -- Q -,- J" [|; f'(x) + (h - ^) =r + . . .] rf.r;
d'ailleurs, l'intégration par parties donne, à cause de
et il en résulte
Les fonctions ^(x), o, ... étant arbitraires, la condition ^S exige
^ il ^
avec
ff-F-'^'-^o-
La première de ces équations donne ^, = une constante
— a\ par conséquent, les conditions du maximum ou du minimum relatif dont nous nous occupons seront
K-f-«K'~ o, H-i-ûH'— o, ..., avec
ce sont bien les conditions du maximum absolu ou du minimum absolu de l'intégrale S -f- aS',
^l4 CALCUL IRTÉGUAL.
Remarques sur quelques cas pai^tîcdiliers.
846. Les cas des maxima ou des niinima relatifs se ramenant à celui du maximum ou du minimum absolu, nous ne considérerons ici que ce dernier cas.
Reprenons la formule
S:: - I Wdx,
et supposons que V ne renferme qu'une seule fonction j^ de X avec ses deux premières dérivées j^,^''^. Si Ton pose
et
la fonction inconnue j^ dépendra de l'équation différentielle
qui sera, en général, du quatrième ordre. Nous allons indiquer quelques cas généraux dans lesquels on peut effectuer immédiatement une ou deux intégrations.
I** Si V ne renferme pasj^ et que Ton ait, en conséquence,
Y sera nuUe, et alars Téquation (i) se réduit à
dx '^'d^ "'^^ en intégrant et en désignant par C une constante, il vient
ce qui est une équation du troisième ordre, en général.
CBAriTRB XII. 7l5
On peut opérer de la même manière lorsque V renferme un terme du premier degré en y , car, dans ce cas, Y est constant, et, en intégrant l'équation (i), on a
Yx-T'-f--J-r-C.
dx a° Supposons que Y ne renferme pas x et que Ton ait
Si Ton résout Téquation identique
dV -= Y dj -H Y' dy -4- Y' dy"
par rapport à Y, et qu'on porte la valeur obtenue dans l'équation (i), celle-ci deviendra
/ dY' \ /«/*¥" ^
ou, à cause de djr=ydx, dy ^-j'àx,
Ux
le premier membre de cette équation est une différentielle exacte ; en l'intégrant et en désignant par C la constante, on a
(3) V-y(Y'-^)-YV = C,
équation diflérentielle qui est, en général, du troisième ordre.
3° Supposons que V ne renferme ni x ni j', et que l'on ait
On se trouve à la fois dans les deux cas que nous venons d'examiner, et, à cause de Y = 0| on aura ces deux in-
yi6 CALCUL IMTÉGRAL.
tégrales premières de réquatlon (i), dY'
dY'' I dY" \
G et G étant deux constantes arbitraires. L'élimination de --T— > qui, en général, contient seule la dérivée de j^
€Mt£
dont Tordre est le plus élevé, donnera donc Tintégralo seconde
u4pplication de la méthode des variations à la solution
de quelques problèmes,
847. Problème I. — Trouver la ligne la plus courte entre deux points.
Soient x^j y-Qj Zq et x^j^'i, Z| les coordonnées des extrémités de la ligne demandée par rapport à trois axes rectangulaires. La longueur de cette ligne sera
On a donc ici, en conservant toutes les notations dont nous avons fait usage précédemment,
, r ' dy' -4- zf d:f
puis
Les équations qui déterminent les fonctions inconnues, savoir K = o, H = o, sont
dY' dZ'
