CHAPITRE XII. yiy

d'où Ton conclut

Y' r=: const., Z' -^ const.9

cl par suite

y = C, z'=zC;

on tire de là, par une nouvelle intégration,

(1) j=rC^-i-Cp zizC'x-f-C',;

ainsi la ligne demandée est une ligtie droite. La condition Ç 1:11 o est

(V, - - ry, -- z\ z\ ) (?.., -•- r. eTr, ^ K ^^i

en employant les indices o et i pour représenter les valeurs que prennent aux limites les diverses quantités que nous considérons. Si Ton désigne par ds la diirérentielle de l'a *c de la ligne demandée, compté à partir d^une origine quelconque, on pourra écrire

T=^, z'^-^' et v-yy-zv^-;

as ds lis '

la condition relative aux limites est donc

848. Passons à la détermination des constantes. Si les extrémités de la ligne demandée sont données, les varialions Sxq, Sjo, Szof Jxi, Sjt, Szt sont nulles et la condition (3) est satisfaite d'elle-même. Alors on déterminera les constantes C, C| , C, C\ en exprimant que la droite représentée par les équations (a) passe par les deux points donnés (xo,j'q, Zq), (j^o^o ^i).

Si les extrémités ne sont pas données et que leurs coor-

7l8 CALCUL INTÉGRAL.

données soient liées entre elles par i équations données, on diiTérentiera ces équations avec la caractéristique d, puis on éliminera i variations entre les équations obtenues et la formule ( 3 ) ; enfin on égalera à zéro les coefficients des 6 — /variations restantes. En tenant compte des i équations données et de celles qui expriment que la droite ( 2 ) passe par les points ( JTo./o? ^0 )? {^^ ^Jt > ^t )> on aura les dix équations nécessaires pour déterminer les coordonnées des extrémités et les constantes arbitraires. Considérons, par exemple, le cas où les coordonnées Xo,^o> ^0 sont indépendantes de Xijj^i, Zi ; Téquation (3) se décomposera en deux autres, savoir :

€ÊS^ uXq CISq

Supposons que Textrémîté (xo^j^o» ^0) soit assujettie à demeurer sur une surface donnée ayant pour équation

F(-^o»ro»^o) — 0;

on aura

ÔF ^ ÔF ^ âF ^ dx^ àx^ dz^

Si Ton élimine ix^ entre cette équation et la deuxième équation (4)» puis qu^ensuite on égale à zéro les coefficients de d^o et de izoy on aura

dF dF dF à-To àfo dz^

ce qui exprime que la ligne de longueur minîma est normale à la surface donnée, résultat confcH'me à celui qa^on a obtenu au n^ 1OT.