CHAPITRE Xlt

Si rexlrémité (x©, j'e> ^0) est assujettie à rester sur une courbe donnée ayant pour équations

on aura

àF ^ dF ^ ÔF ^

ÔJ-Q ÔXo ÔZq

Les variations $x^, 5/o> ^^o> dont ces équations déterminent les rapports, sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec les axes la tangente à la courbe donnée au point (xo^j^o^ ^o)> donc la deuxième équation (4) exprime que cette courbe donnée a pour normale la ligne de longueur minima.

n est évident que ce qui précède s'applique à Tune et à l'autre des deux extrémités de cette ligne.

849. Au lieu d'appliquer les formules générales, on peut chercher directement les conditions du minimum de l'intégrale

" Vb ■ ^ .r,

en procédant comme nous l'avons indiqué au n" 836. On a

Or l'équation ds^ z=^ dx^ -\- dj^-k- dz^ donne ds9ds m dxidx -f- dy^dy -f- dz^dz\

J \ds ds ' ds J

7^0 CALCUL IKTtonAL.

ce qui devient, au moyen de Tintégration par parties,

Les variations Sx, Sy, dz étant arbitraires sous le signe / •»

celles des conditions du minimum qui déterminent les fonctions inconnues seront

.d.r elr ^dz

ds ds ds

ces trois équations se réduisent à deux, et Ton en conclut, comme au numéro précédent,

dr dz

-•- rr: const., -- = const.

djc dx

Nous nous dispensons d^écrire les conditions aux limites, qui sont évidemment celles que nous avons déjà obtenues.

850. Problème II. — Tromper la ligne la plus courte entre deux points donnes sur une surface donnée,

La ligne demandée est dite une ligne géodésique. Soient [xqj jQy z^), [x^, y^^ z^) les coordonnées des points donnés rapportés à trois axes rectangulaires, et

(i) FIj:,/, s; — o

l'équation de la surface donnée.

Conservons toutes les notations du numéro précédent; la valeur obtenue pour JS convient au cas actuel, et les

châpithe XII. 721

conditioDS du minimum ou du maximum seront encore

(2) Sxd-- + $Yd-^'ffSzd-r=.o,

^ ' ds '^ ds eu '

„, , [fê),'-(l).'-(â),'-.]

seulement les variations dx, ij^ iz doivent ici satisfaire

à Téquation

//x àF . àF . ÔF ^

Si Ton élimine d^ entre les équations (a) et (4)^ puis qu^on égale à zéro les coefficients des variations restantes ^^f ^J ï ïl viendra

ds ds ds ^

dx djr dz

il est facile de voir que les deux équations contenues dans cette formule se réduisent à une seule, à cause des égalités

dF d^ ôF dr ^ ^ __ dx ds ôf ds dz ils '

dx ,dx dr ,dr dz ,dz

ds ds ds ds ds ds

dont la seconde s'obtient en différentiant l'identité

{sy-(i)'- (!)■=■•

La courbe cherchée sera donc déterminée par deux des trois équations (i) et (5). Les constantes introduites par l'intégration et les coordonnées x©, J'oi ^o> «2^0 T^i > -^i »

S. '— Cale, int*

7^2 CALCUL IHTÉGBAL.

si elles sont variables, se détermineront ensuite, sans difficullé, en faisant usage des équations aux limites. Les numérateurs des rapports ( 5 ) sont proportionnels aux cosinus des angles que fait, avec les axes, la normale principale de la ligne géodésique; d'ailleurs, les dénominateurs sont proportionnels aux cosinus des angles que fait avec les mêmes axes la normale de la surface donnée; donc les deux normales coïncident, et Ton a ce théorème :

Le plan osculateur d^une tigne géodésique d'une surface est constamment normal à la surface.

La propriété d'être la ligne la plus courte entre deux points n'a pas nécessairement lieu pour tous les arcs d'une ligne géodésique. Ainsi, sur la sphère, les lignes géodésiques sontdes grands cercles, et, si l'on prend deux points sur la circonférence de l'un de ces grands cercles, la propriété du minimum n'appartiendra qu'à Tare inférieur à une demi-circonférence.

851. Problème lU. — Trou^^er la courbe plane qui passe par deux points donnés ou assujettis à des conditions données, et qui engendre une aire minima en tournant autour d'un axe donné dans son plan.

Si l'on prend deux axes rectangulaires dans le plan de la courbe, dont l'un, celui des x, coïncide avec Taxe de rotation, Taire dont on demande le minimum sera le produit par 2?: de l'intégrale