I -^ y^dx
On a donc, en se reportant aux formules générales du n*^ 833,
CBAFITIIE xn. 723
L^équatlon
K 3^ o ou Y j- = o
ax
tombe dans Fun des cas du n^ 846, et elle a pour intégrale première
y--Ty-^c ou — '^- — =z c,
c étant une constante arbitraire. On tire de là
cdr ,, , x — a , r "+- s/x* —
dx = — • ■■ > d'où :— log
a étant une constante arbitraire. On peut écrire
-=.€ *^ , ~ zrze *^ »
d'oà
ce qui est Téquation d'une chaînette.
L'équation aux limites Ç= o est ici
elle servira pour la détermination des coordonnées jti , j^i et jtq, /o> lorsque celles-ci seront variables.
Si les extrémités sont données, l'équation de la courbe suffira pour déterminer les constantes c et a ; supposons, par exemple, que les ordonnées de ces extrémités soient égales, et prenons pour axe des y la perpendiculaire à Taxe menée à égale distance de ces deux points. On aura X| = — Xq ; par suite, la constante a sera nulle, et Ton aura, pour l'équation de la courbe,
^^4 CALCUL IMTÉGRAL.
la constante c se déterminera donc par la condition
ro
Si le rapport — est inférieur à une certaine limite
qu*on détermine aisément, la précédente équation n*a aucune racine réelle c\ dans ce cas, il n^existe ni minimum ni maximum.
Lorsque les extrémités sont mobiles sur des courbes données, on a
et Ton conclut facilement de là aue la chaînette demandéo
est normale aux deux courbes données.
852. Problème IV. — Etant donnés deux points A et B, trouver la courbe AMB que doit suivre un point matériel pesant pour aller du point A au point B dans le temps le plus court»
La courbe demandée est dite brachistochrone. Prenons trois axes rectangulaires dont Tun, celui des x, soit parallèle à la direction de la pesanteur, et désignons par (j:^,j^o> ^o)> i^iy^iy ^i) l^s coordonnées des points A et B. L'accélération due à la pesanteur étant désignée par g, et y, z' représentant comme à Tordinaire les dérivées •j'i 3" ' ^® temps employé par un corps pesant, par-
