CHAPITRE XII
tant du repos, pour aller de  en B est égal, comme on le
démontre en Mécanique, au produit de la constante ^2^ par rintégrale
il s'agit de trouver les conditions du minimum de S. On a ici
pais
du: dx
Comme les points A et B sont donnés, les conditions du minimum seront ici
dY' âU
dx dx
d'où
c et (/ étant des constantes arbitraires. On a donc
d'où
intégrant et désignant par d^ une nouvelle constante arbitraire, on a Téquation
7^6 CALCUL INTÉOILAL.
qui est celïe d'un plan vertrcal contenant la courbe demandée. Ce plan passe par les deux points donnés, et, par conséquent, il est déterminé; on peut le prendre pour celui des xy^ et alors on a c'=o, 0^'= o, d'où z= o, z'= o, et
Résolvant par rapport à j'= -^j il vient
dx
dx
ce qui est l'équation d'une cycloïde dont la base est horizontale (n^ 231 ) ; on achèvera de déterminer cette courbe
par la condition qu'elle passe par les points A et B ; -^ est
ici le diamètre du cercle générateur.
853. Supposons maintenant que les extrémités A et B ne soient pas données, mais qu'elles soient assujetties à certaines conditions. L'équation '
a toujours lieu, et, par conséquent, la courbe demandée est encore située dans un plan vertical* Bien que ce plan soit inconnu, rien n'empêche d'y choisir deux axes pour y rapporter la courbe, et l'analyse du numéro précédent prouve que cette courbe est, dans tous les cas, une cycloïde.
Tout se réduit ici à déterminer les points extrêmes et le rayon du cercle générateur. L'équation aux limites Ç=o est ici
dx =^o.
C4ÀPiTa& XII. 727
Or on a
donc
etf parce que Y' et 21 ont des valeurs conslautesy
^rfx=:4(Yy-hZV-^V)5 notre équation devient donc
r V — Y'/-^ ZV)dr* -+. Vfy 4- Z'izV
— Tv — Y'/- zvl*^4ri — ou, en remplaçant V, Y' et Z^ par leurs valeurs.
Enfin, comme on a
si Ton désigne par X la valeur commune de ces rapports, les produits ^y et \zf étant constants, on aura
et, par conséquent, Féquation de condition sera, après la suppression du facteur X|,
Quelles que soient les conditions auxquelles les points extrêmes doivent satisfaire, on achèvera maintenant la solution sans difficulté. Supposons que chacun de ces
7a8 cÀicrL iNTÉaBAL.
points soit assujetti à être sur uoe courbe donnée : on
aura séparément
jj-, +y,3'-t + y,jz, =:o,
Jj-g + y, îxo + ï'i S'a = O,
d'où l'on conclut facilement que la brachistochrone esZ normale à la courbe donnée qui passe par le point d'arrivée, et que la tangente de la seconde courbe donnée, au point de départ, est perpendiculaire à la tangente de la brachistochrone au point d'arrivée.
8S4. Peoblème V. — Trouver une courbe plane AMB telle que l'aire ABCD, comprise entre l'arc AMB, les rayons de courbure AC et BD, qui correspondent aux deux points extrêmes A, B, et l'arc de la développée CD compris entre les centres de courbure C, D, soit un minimum.
Soient MK. le rayon de courbure en un point M de l'arc AM = j, M'K' un rayon de courbure infiniment
voisin ; l'aire comprise entre ces rayons R et les deuit courbes sera évidemment égale à Rds(i -f-i), t étant un infiniment petit. Si donc on rapporte la courbe à deux ases rectangulaires Ox, Oj-, l'intégrale, qui doit titre
un minimum, sera
ii±y7.
CHAPITBS xti.
Ainsi Ton a
on est donc dans l'un des cas du n^ 846, et Téquation du minimum admet Tintégrale seconde
mais ici celte intégrale se réduit simplement à
C et G étant des constantes arbitraires, à cause de
Y'S'' = — V. Remettant R-/ au lieu de V, et -- au
lieu de J^ on aura, pour déterminer la courbe demandée,
R^=C-+-C'-f- ou R = C — -t-C'-^dx tlx dx dx
Posons
dx . djr
ds=='''''^' ds =^^'^'
puis
0,^=1 ^aco&a^ C ^^ — ^aÛTLOLy
aeia étant de nouvelles arbitraires; notre équation deviendra
R r=r 4«sin(ç> — a).
Mais, si Ton fait tourner les axes d'un angle a, et que Ton désigne toujours par (f l'inclinaison de la tangente de la courbe cherchée sur l'axe des a:, on aura plus simplement
l{z=: /\asinf ou ds = ^asinfdtf,
car d(f est évidemment égal à l'angle de contingence. On
yZo CiLCUL IRTÉG&AL.
a ensuite
djr . z els C0S9) = ^asinj cosf dfz=:iasin^f d^^
d'où, en intégrant et en désignant par Xo, yo ^^ nouvelles constantes arbitraires,
X— j:o= a(2f» — sin ay), 7 — j^o = ^(' — cosay);
on voit que la courbe demandée est une cycloïde.
855. PnoBLÈME VI. — Étant donnés deux axes rec^ tangulaires O a?, Oy et deux points C, D dans leur plan, on demande de troui^er, parmi toutes les courbes de longueur donnée, situées dans ce plan et terminées aux points C, D, celle pour laquelle l'aire ABCD comprise entre la courbe, l'axe des x et les ordonnées extrêmes, est un maximum.
L'intégrale qu'il s'agit de rendre maxima est ici
et l'on doit avoir
/ étant une longueur donnée. Il faut alors (n^ 843) chercher le maximum absolu de l'intégrale
'- {x-has/i'hy*)dx,
a étant une indéterminée. On a ici
CBAPITUR Xn. 73 1
et l'on est dans le deuxième des cas du n^ 846 ; Téquation du maximum admet Tiulégrale première
c étant une constante arbitraire. On tire de là
d'où
x — c^=.^a^ — (c — jr]* ou (jr — c')*-h(^ — cY^^a*, La courbe demandée est donc un arc de cercle de rayon a.
856. PaoBLkHE VII. — Parmi toutes les courbes iso^ périmètres que l'on peut tracer sur un plan entre deux points donnés, quelle est celle qui, en tournant autour d'une droite donnée dans le même plan, engendre la plus grande ou la plus petite surface de résolution ?
L'intégrale qui doit être maxima ou minima est
et Ton a, en outre,
il faut donc ekercfaer le maximum ou le minimum absolu de
' (y -^ a) \/ 1 -^' y* (Ir.
Comme a est une constante, le calcul à exécuter est le même que celui du problème III (n° 851), et, par con-
^33 CILCUL HfTÉGRAL.
séquenty la courbe qui engendre la plus grande ou la plus petite surface est une chaînette.
857. PaoBLEMB VIII. — Parmi toutes les courbes isopérimètres, quelle est celle à laquelle répond le volume de révolution minimum ?
L'intégrale qui doit être un minimum est
et Ton a, comme dans les précédents problèmes.
JTtk
II faut chercher le minimum absolu de On a
V=:7»-4-ûv^i-+-/S Xz^o, Y = ar, Y' =
par conséquent, on aura, comme dans le problème VI,
pour rinlégrale première de l'équation différentielle qui exprime la condition du minimum, c'est-à-dire
ou
