IV. — Proposition de M, Lio maille
Elle consiste en ce que toute fonction uniforme f(a:), possédant deux périodes a et b, se réduit nécessairement à une constante si elle ne devient infinie pour aucune valeur de la variable. Partons, en effet, de Texpression suivante, de toute fonction entière, uniforme, ayant pour période a, savoir
La condition î{x -{- b) =z f(a;) donnera Tégalité
2 lire iiTT.r ^--«
Ame ^ e « =2à
iltb iiTT.r ^-^ /It.r
= T AmC*"* a
— am- —
el, si Ton multiplie les deux membres par e " , on trouve, en intégrant entre les limites zéro et a,
i'Kb a/n
rimC = Ajfi'
On en conclut que A,„ est nul; car, en supposant imaginaire, ainsi qu'on le doit, le rapport des deux périodes ->
on ne peut avoir e " ziz i que pour la seule valeur m =:o. A,„ devant être supposé nul pour toute valeur de m, sauf /n = o, on voit que f (^) se réduit à la constante Aq.
Cette proposition, aussi simple qu'importante, nous fait voir que les fonctions à deux périodes seront nécessairement des transcendantes fractionnaires; elle rend compte, a priori, des singularités que présente la nature des produits doublement infinis I I ^( i H r )> et montre
ii \ ma-T-nb/
l'impossibilité de donner pour origine aux fonctions à deux périodes l'expression plus générale
o{x)^{x — a) <p(a7 — aa)(p(a7 — 3a)... x^{x ^ a)^{x -f-%a)f^{x -^Za) . . . ,
en prenant pour (p(^) une fonction périodique entière. Mais ces expressions, si elles ne peuvent conduire aux fonctions à double période, nous amènent à celles qui leur servent de numérateur et de dénominateur, et c^est à ce moment que, à proprement parler, nous entrons dans Tétude des fonctions elliptiques.
Définition des fonctions ©(^), H(^), Bi(^), H, (^); leurs expressions en produits et en séries.
Rien n^est plus important ni plus digne dUntérét que Tétude attentive des procédés par lesquels, en partant des notions antérieurement acquises, on parvient à la connaissance d^une fonction nouvelle qui devient Torigine d^un nouvel ordre de notions analytiques, et un Traité complet sur le sujet qui nous occupe ne devrait omettre aucune des méthodes découvertes et suivies à Tégard des fonctions 0(a?) et H (a:). Mais ici nous n'en indiquerons que deux, la première se liant naturellement à ce qui précède et la seconde devant nous permettre de donner un aperçu sur les fonctions analogues, mais à plusieurs variables et d'un ordre plus élevé, qu'on nomme fonctions ahéliennes ou ultra-elliptiques,
