Première méthode

Nous adopterons désormais les notations employées par Jacobi dans Fimmortel Ouvrage intitulé : Fundam,enta nova theoriœ functionum ellipticarum, et nous représenterons les quantités qui serviront de périodes par K et iK\

i désignant y/ — i. Cela posé, soit ^{x) une fonction entière ayant pour période a K; nous considérerons, au lieu des expressions

<f(x)o{x — iK')^(x ^aïK')...

X 9(x -t- iK')<p(a: r-2<K')

que nous savons ne pouvoir servir à la définition d'une

fonction entièrement déterminée, les suivantes :

*(:r) = o(x-+- iK')^(x -+- 3 îK') <p(ar -h 5*K') . . .

X cp(— X-+- tK')«p(— J^ -+- 3tK')«(— ar -h 5iK') . . . et

^i(x) = ^(x)^{x-h 2iK')(p(jr-f- 4tK') .. .

x<|p(— ar-f- '2tK')(p(— x-i- 4tK')

On aura d^abord

on trouvera ensuite facilement

*,(a7-+-tK') = * (a:),

et, en dernier lieu,

Nous n^avons donc pas ainsi de fonctions doublement périodiques, mais des expressions qui se reproduisent multipliées par un certain facteur lorsqu'on ajoute 21K' à la variable. Soit, par exemple,

/TT-r

^(jr) =: I -I- e ^ , ce qui donne

il est aisé de voir que les produits infinis seront alors convergents, de sorte que *(.r) et *i(x) représenteront des fonctions holomorphes dans tout le plan.

Désignons, en effet, par q la constante e '', dont le module sera supposé moindre que Tunité, et remarquons que

Ton a

<p(a? -+- /iiK') tp(— a? -+- /iiK') = n- ay" cos -r^ ■+• ^*'*.

En prenant la dérivée logarithmique de Texpressioji

I I M -h^q"* cos^ -+■ y*'*]»

où nous ferons successivement

n = I, 3, 5, puis

w = 2, 4,6, on obtient la série

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