I -{- a^^cos-^ -4- q

qui est convergente sous la condition admise pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable.

Les fonctions ^{x) et 4>, (^), que nous obtenons ainsi, ont Tune et Tautre la période 2K et satisfont aux équations

*i(ar-htK') = *(a:),

On les ramènera à contenir le même facteur exponentiel dans le second membre en posant

où p désigne une constante que nous allons déterminer. Effectivement nous aurons d^abord

lit n(ar-h*K') = *(j")e «»^

puis

7'lC NOTK SUR LA TlltORIB

et, pour y parvenir, on voit qu'il suffit de faire

p-ih-- p,

c'esl-à-dire /i^ —JiK'. Mais la nouvelle fonction que nous venons d'introduire remplit maintenant la condition

n(:r-,-aK)^.-n(3-);

nuus avons ensuite

*(:r--iK')^- Il (x)c" '"*"■''*''''', et de là on conclut facilement

II(.r-i-ai"K') ■- U(j-)c~'t''''"^'*\

l^cla étant, je poserai, en désignant par A. une constante, doii

e,(x).^(.-^,,cos^i.C^,.)

ou hien

Je ferai, en second lieu, el je remarque que, avant

DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 757

l'expression de la fonction *i(^) permet d'écrire

(TZX \

H- 'iq^ cos -^ + ^* ) • . • ,

c'est-à-dire

l[{x) = 1 yq cos -rr- ( I -f- ay* cos -r- -H y* I

X f 1 -h 2^* cos 1^ -\- q^\

J'ai ainsi la formule

Hi ( — '- \ = K.iy q co%x{\ -H a^^cosax-^ «7*)

X (i-f- !i<7*cos'Zj:-+- y*). . . ,

qui définit avec 61(12:) deu\ des transcendantes introduites en Analyse par Jacobi comme éléments essentiels de la théorie des fonctions elliptiques. Soient enfin

^{x) =r e,(K — rr), U(x)^lhiK~-x),

et, par conséquent,

/iKx\ 01 j = A(i — 7,q cosaar-h y*)(i— xq^cos^x-^- q^)

H ( ] = A.2 ^q sinâ:(i — a y' cos 22: -- q^)

X (1 — 'iq^cos2X -h q*). . . ;

on aura le système complet des quatre fonctions du grand géomètre, dont les rapports représentent des expressions qui sont doublement périodiques. C'est ce que montrent les relations qui viennent d'être établies et que je réunis comme il suit :

e(ar-+-aK) = 4- e(.r),

n(ar-i-2K)-=— H(:r), ei(T--2K)-+ei(:r), Hi^x-^-'xK) — -ni(j7;.

H (X -h 2iK') ^ - n{x)e"^ ('+«K')^ Bi(x -T- liK) -^ -'- e,(a:)e""ï ^'■^"''\

U(x) En considérant, par exemple, le quotient ——{ j on recon-

nait qu'il change seulement de signe, quand la variable augmente de aK, et qu'il admet la période 2/K', parce que le numérateur et le dénominateur se reproduisent multipliés par le même facteur exponentiel, lorsqu'on change x en

x-+-iiK'.

A ces relations nous joindrons les suivantes, qui concernen t les changements de a? en a: -i- K, x -\- / K', j: -+- K -h < K', et dont l'usage est continuel :

/ B{x-hK)^-hSi{x), j H(x-4-K) = -hH,(:r),

e,(^-r-K) rr:-f-e(j:),

Ui{x~\-K) = '-U(x); e(x-{- iK') = i H(a:)e"ni^''"*""^'' , n{x -f. iK') = ie{x)e'"^^'"^'^'\ e,(x-+-iK') = H,(ar)e 4k'"'-^' \

e(:r -4- K 4- eK') --. -H H, (a?)c'"i''i*'"^'*"\ U{x-^K-}-iK')=-+-ei(x)e i*^^""^' ',

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 769

Nous remarquons enfin que les expressions sous forme de produits d^un nombre infini de facteurs des fonctions de Jacobi donnent immédiatement les racines des équations transcendantes qu'on obtient en égalant à zéro chacune de ses fonctions.

Si Ton convient de déléguer par n et /i' tous les entiers pairs et par m et m! les entiers impairs positifs ou négatifs, on a les expressions suivantes :

6(3')— o, ^ = /iK-hmiK',

6j(a:)=o, X =:^ mK -\- m' i\\\ Hi(a7) = o, x — mK\-niK'.