II. — Deuxième méthode

La proposition de Liouville consistant en ce qu'une fonc

tion uniforme entière \ A;„c " , qui admet la période

a, ne peut, sans se réduire à une constante, admettre une autre période 6, conduit naturellement à rechercher l'expression analytique des fonctions à double période sous la forme fractionnaire

Bme "

Essayons, d'après cela, de déterminer A,„ et B^» par la condition

itzr iTC. ..

am ■ — — ^^ . tr — ix-^-b)

^A^je"" " ^Ke

I7Ï.I' __ iTZ, , '

an V^ ^ »' — {x-k-b)

^Bae"" " ^Bsc

où les indices m, /i, r, s parcourent la série des nombres entiers positifs et négatifs. Faisant, pour abréger,

760 NOTE SUR Là THâORIE

il viendra, en chassant les dénominateurs,

^1 , a m ^^ ix —

a /• — [x-i-bi

= ^Bne"" " ^A;,^"' "

et dans cette nouvelle égalité les coefficients d^une même exponentielle devront être égaux.

On est ainsi conduit à Tégalité

où il faut supposer

et attribuer à m et 5 dans le premier membre, à /i et r dans le second, toutes les valeurs en nombres entiers qui remplissent cette condition.

Il pourra sembler difficile de tirer de là les fonctions inconnues Â;„ et B^ dans toute leur généralité : aussi nous bornerons-nous à chercher cette solution qui s^ofTre d^ ellemême, et qui consiste à obtenir Tégalité des séries en les rendant identiques. Soit donc

nous poserons

en désignant par k un entier arbitraire constant, et satisfaisant ainsi à la condition m -\- s^= n -h r. J'écris maintenant la relation proposée sous cette forme

A, "^ - Hs"^ '

on voit par là que, ret s étant indépendants, il faut que chacun des deux membres soit une constante.

DES PONCTIOXS KLLIPTIQLKS. 76 1

Les fonctions A,„ et B^ sont donc deux solutions de cette même équation aux différences finies

dont l^intégrale générale est

~ const.,

S dépendant de la constante du second membre, et Uf^ devant vérifier la condition

W//i-fA= u