II
Cette quantité a peut être particularisée, comme on le voit, sans restreindre la généralité du résultat, car il suffira pour la retrouver de changer dans la fonction a: en a:; -h ^o] nous la supposerons nulle, et nous prendrons pour A;n 6t B,„ les valeurs suivantes
les quantités a^ et bm vérifiant les conditions Ainsi, en faisant
lira
»!• iTC.r
le quotient — - — ■ sera Texpression d'une fonction doublement périodique, donnée par notre analyse, et il s'agit maintenant d'étudier de plus près ces séries remarquables
762 NOTE SCR LA THftOUE
auxquelles nous sommes conduit pour le numérateur et le dénominateur.
En premier lieu et relativement à la convergence, si Ton suppose, comme nous Tavons fait déjà, le module de Q inférieur à r uni té, le nombre entier k qui demeure arbitraire devra évidemment être pris positif; mais, cette condition admise, les deux séries considérées comme procédant suivant les puissances quadratiques de Q présenteront pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable la convergence la plus rapide. En second lieu et pour saisir de quelle manière se réalise la double périodicité dans le quotient, changeons œ en x -^ b, par exemple, dans le numérateur. On trouvera
ouJ)îen
m» itt.r
i'ÎZb
en ayant égard à la valeur de Q =: e '^ . Mais dans le terme général il est permis de remplacer m par m — A:, puisque i^indice doit recevoir toutes les valeurs entières de — co k oc; on trouve ainsi, et en faisant afn-k^= ^my
de sorte que la série primitive <I>(j?) se reproduit en facteur. Nous écrirons cette relation fondamentale sous la forme suivante
*(jr -h o) = <ï»(a;)e *» ,
et, en obser^^ant qu'elle a été obtenue sans rien supposer
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 768
sur les coefficients arbitraires a^y nous y joindrons celle-ci :
^ » V w, / V — * — ta r-+- h )
Par là se manifeste de la manière la plus claire à quoi tient la double périodicité du quotient des deux fonctions 4>(^) et n (x). Chacune d'elles admet la période a, et, lorsqu'on y change x en x -^^ b^ elles ne font qu'acquérir un même facteur exponentiel qui disparaît par la division (^).
Bientôt on verra le rôle important que joue le nombre entier k qui introduit au numérateur et au dénominateur k constantes arbitraires d'après les relations
bm-hk = b„i .
Mais nous devons dès à présent remarquer qu'il est impossible de satisfaire aux conditions
v(x -\- o) = v{sc)e " ,
par d'autres fonctions uniformes entières, que par la série précédente. Qu'on fasse en effet, pour se placer dans cette hypothèse, en vérifiant la première de ces conditions,
iTt.r
( * ) Dans le cas où k est 1c nombre pair, on remarquera la relation suivante. Faisons
fonction qui ne diffère de 4*(x) qu'en ce que les constantes arbitraires a^ sont disposées dans un autre ordre; on aura
(ax-HO)
e art
OU plutôt
m' amiic.r
il viendra, en substituant dans la seconde égalité et en comparant les coefficients d^une même exponentielle, a„t+/f^= flyn. Avant d'aller plus loin, nous nous proposerons dans une courte digression de dire quelques mots d^une généralisation aussi remarquable qu'importante des séries que nous venons de rencontrer.
IIÏ. — Aperçu sur les fonctions de plusieurs variables
à périodicité multiple.
Une fonction f (^1, ots, . . . , a:n) ^^ ^ variables peut être périodique non seulement par rapport à chaque variable considérée isolément, mais par rapport à leur ensemble, lorsqu'elle vérifie une condition de cette forme
f (ti -f- ai, x»-h aj, . . . , 27,1 -r- a,, ") = f (:fi, Xj, , . .^Xn).
Sous ce point de vue plus général, on a d'abord cette proposition qu'une fonction uniforme de n variables ne peut admettre plus de a/i périodes simultanées (^). Mais il est extrêmement remarquable, et c'est à Riemann qu'on doit cette belle découverte analytique, qu'à l'égard des fonctions uniformes ou bien déterminées les un périodes simultanées ne peuvent être des quantités données apriori^ et indépendantes les unes des autres. Qu'on forme en effet, avec n périodes simultanées convenablement choisies :
a\j aj, . . ., a„^ ©i, ^j, . . ., h„, >
(') Si elle est entière, elle n'en peut admettre plus de n.
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 'j65
les n foi^ctions linéaires
Xi =^ ai Xi -\- bi Xi -h ... -h gi 37/1,
Xt = a^ Xi -h bt xt -h . . . 4- ^t Xn,
X/t = anXi -+- bnXi H- . . . -^ gn^n-
Ed posant
^(Xi, Xj, . . ., X,j)= F(a7i, x%, . . ., a7n),
on aura une fonction transformée simplement périodique par rapport à chaque variable, mais qui conservera n autres périodes simultanées, et c^est à leur égard que se manifeste dans toute sa simplicité la relation que nous voulons énoncer. Représentons-les par
Al, A2, • • • 1 A/i,
Bi, B2, . . . , B/i,
Gi, Gj, . . . , Gfi'
La proposition de Riemann consiste en ce que les terme^ de ce tableau qui sont placés symétriquement par rapport à la diagonale Ai, Bj, . . ., G;, sont égaux entre eux, ou, ce qui revient au même, en ce que les fonctions linéaires
Ai^^i -f- Ajj'2 -^ • • • -*~ A «07,,,
Bi a7i -T- B2 ^e -'- . . . -\- Bft Xni
Gj J7i -h G%Xi -î- . . . -h (jn^a
sont les dérivées partielles d'une même forme quadratique à n indéterminées (*).
(*) La démonstratioa de ce théorème, dont l'énoncé m'oTait été communiqué par Riemann, a été donnée pour la première fois par MM. Poincaré et Picard dans un article intitulé : Sur un théorème de Riemann relatif aux fonetiona de n variables indépendantes admettant an ajrstèmes de périodes (^Comptes rendus, t. XCVII, p. ia8^).
766 NOTE SUR Là THfiORIB
Voici maintenant la généralisation des séries relatives aux fonctions à double période, et qui donnent l'expression analytique des fonctions analogues à n variables et a/t périodes simultanées.
Représentons la forme quadratique, dont il vient d'être question par cp(a'i, x^^ . . . , j:*,,) et posons
le signe ^ s'étendant à toutes les valeurs entières de
— 00 à 4-00 des n indices mi, m,, . . ., /n„,etle coefficient constant a^,, am,) «..i a^^ étant 'assujetti à la condition de reprendre la même valeur lorsqu'on augmente du nombre entier k Tun quelconque des indices. Cette fonction est évidemment périodique à Tégard de chacune des variables considérée séparément, et voici la propriété fondamentale qui la rattache aux séries elliptiques.
Désignons par a,, ai, . . . a^ n nombres entiers arbitraires, on aura
\ 1 dai 2 dan, a dan,/
Cette relation ne contenant pas les constantes a,,,,, a,„,, . . . , a^^, une autre série n (j:,, ^j, . . ., j;„), où ces constantes auront des déterminations différentes, donnera de même
, / I rfo I rf© \ d^\
Il pr, l ^ , x^^ - -j-^, ..., Xn-^ - ~r^ \ Il da^ a da% 2 danj
11 en resuite que le quotient — y-^ — -^ représentera
une fonction de n variables à a/z périodes, n d'entre elles égales à Tunité et appartenant séparément à chaque variable, les n autres étant les termes du tableau dont on a dé-
duit la forme quadratique ç(^i, ^j, . . ., os„). Elles résultent eiTectivement des égalités précédentes, en y supposant successivement nuls, sauf un seul qu'on prendra égal à Tunité, les nombres entiers aiy ai, . . ., a^,. Nous voyons aussi figurer dans les séries un entier k dont dépend le nombre des constantes arbitraires qu'elles renferment; or ce nombre sera limité et fini, lorsque la condition suivante, dont la découverte appartient encore à Riemann, sera remplie.
Soit
Çlt Ci' •••t Çn-,
^1, 5f , . • ■ , Sfi
un système de n* constantes arbitraires; il sera nécessaire et suffîsant que les fonctions
égalées à zéro ou à Tinfini, n*admettent qu'un nombre fini et limité de solutions qu'on ne puisse réduire les unes aux. autres en ayant égard aux périodes.
C'est à Gôpel et à Rosenhaim qu'est due la première notion des séries dont nous venons de parler, et leur application dans le cas de deux variables, à l'expression des fonctions inverses des intégrales de radicaux carrés de polynômes du cinquième ou du sixième degré. M. Weîerstrass, dépassant de beaucoup les résultats obtenus par ces deux illustres analystes, résolut dans toute sa généralité à l'aide des mêmes séries le problème de l'inversion des intégrales de radicaux carrés de polynômes de degré quelconque. Après lui, en suivant une voie toute différente, Riemann parvint aux mêmes résultats, et c'est dans le
S. — Cale, int, t\Ç)
768 NOTB SLR Là théorie
champ plus vaste encore des transcendantes à différentielles algébriques quelconques que ces deux grands géomètres se rencontrèrent en obtenant en même temps la solution du problème si général de Finversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, Tune des plus belles et des plus importantes questions qui se soient jamais offertes en Analyse.
IV. — Comparaison entre les expressions sous forme de produits infinis et de séries des fonctions 0 et H.
Nous venons, dans un rapide aperçu, de montrer le lien et Tanalogie des séries qui donnent l'expression des fonctions doublement périodiques à une seule variable et de celles qui conduisent aux transcendantes abéliennes les plus générales. Mais le cas le plus simple dont nous allons nous occuper exclusivement est le seul où ait lieu une décomposition en facteurs que ne comportent aucunement les cas plus généraux où les séries renferment deux ou un plus grand nombre de variables. Le rapprochement de ces deux genres d'expressions se présente de lui-même et résulte de ces relations qui ont été précédemment données et que nous reproduisons ici
e(a7-l-2K)=-r- e(:r) e(a:-f-2tK')=— e {x) e'"^^'^'^'\
ei(ar-+-2K)=-h e,(jr) e,(ar-4-2*K')=-hei(a:)c ^^''^' \
Comme on a évidemment
e(ar-+-4K)=e(ar), H(a7-+- 4K) = H(ar),
on voit que les fonctions 8(0?) et H(j?) satisfont toute» deux aux conditions
— — (r-t-ià')
4>(a7H- 2iK') = — ^{x)e * ' ,
et les fonctions 61 (j?) et H,(x) à celles-ci pour une raison semblable,
*(jr-l-4K) = 4>{ir), *(a7-f-2tK') = 4>(a?)e ^
Mais ce sont précisément les relations que vérifie l'expression générale
m* iizx
lorsque, en supposant le nombre k égal à 2, on prend pour périodes
Les constantes a„i se réduisent alors à deux, Gq et ai, et comme elles suffisent, ainsi que nous l'avons établi, à représenter la solution de ces équations la plus générale par des fonctions entières, en leur attribuant des valeurs convenables, les fonctions 6} (a?) et Ui(^) seront données par la série
/w* tlZ-r , i
JKÊânt
Cette détermination résulte d'ailleurs immédiatement des conditions
ei(ar-haK)= 6, (ar), H,(a?-+--2K) = H,{a7);
on remarque, en effet, que les séries qui multiplient a^et ai vérifient respectivement la première et la seconde, de sorie
qu'on aura
Aei(:r) = y q e
-+-QO
BH,(x; = 'y q ♦ e
(im-l-T)' , , l'Ttr
iK m
en désignant par A et B des quantités constantes. Si Ton remplace les exponentielles par les lignes trigonométriques,
et la variable x par ^ on obtiendra ces développements
remarquables
A Oi f — ;^ I — i-H2^cos2ar-T- 2^*cos4.t?H- ay^cosôar-h . . . ,
BHif ) —ly/q cosir-h2v/y9 cos3a7-f- a}/^" ces 5a: -f-
Remplaçons j? par ic 4- -, on en déduira
— ^^— \ =1 — aç^ cosaa? -f- 2 9'*cos4ar — a^^cosGo;-^ . .. ,
B in j = ^/^ sino? — 1)/ q^^ ûnZx -h 2^y**sin5^ — ....
D'ailleurs, en ayant égard à la relation
e,(a7-T-iK')-=H,(,r)e *«
on trouvera que les deux constantes A et B sont égales entre elles. Voici donc entre les séries et les produits infînis des relations d'identité extrêmement dignes d'intérêt, et auxquelles d'autres méthodes purement algébriques peuvent conduire. Jacobi, le premier auteur de leur découverte, et Cauchy, en ont donné plusieurs; mais la plus facile et la plus simple a été obtenue par M. Biehler, Directeur des liltudes à TEcole préparatoire du Collège Stanislas, à qui j'en dois la communication : c'est celle que je vais exposer.
Considérons le produit composé d^un nombre fini de facteurs,
le développement suivant les puissances positives et négatives de z sera de la forme
Cela étant, Tidenlité suivante, qui se vérifie immédiatement,
f{q^z) (grî/.-+- qz) ^^f(z) (l-^ q^n-^'^z),
donne entre deux coefficients consécutifs, A; et A/i. la relation
A/(l— 5r««-ïi):. \^^{qU-\ . . qjn^\y
Nous en tirons successivement
/yJtt-r 6
et, par conséquent.
Tous les coefficients du développement s^obtiennent donc au moyen du premier Aq, dont voici la détermination.
Supposons i=i n et remarquons que dans F (a: ) le terme en z'*' ayant pour coefficient ^»-+-3-»-...-4-î/« i^ ^^ a immédiatement A;, = ^"*, d'où, par conséquent,
an^ = A y"Vi-y'")('- yî^"î)...(i-y^)
et enfin la valeur cherchée que j'écris ainsi
Cela étant, faisons croître indéfiniment le nombre n, cette expression nous donne
et la relation entre A/ et Aq devenant simplement A/irz A^^'', on est conduit à Tégalité
Il suffit maintenant de poser z = e^^^ pour en conclure
(i -\-'iq cosaa; -^ ^*)(i -h 2^' cosao? -r- q^)., .
I -f- 2^ cos2a?-t-a5'*cos4a?-h . . . .
Ce résultat important nous permet de préciser complètement la définition première que nous avons donnée des quatre fonctions ©(^), H (a?), 61(0:), Hj(^), en les représentant par un produit de facteurs affectés d'un coefficient A resté jusqu'ici arbitraire. Nous ferons désormais
et nous aurons de la sorte
Oi ( — ^^ j = I-r-2 7.COS2a?-f-2^*COS4a7-T- îgr'COSbj: -r- . .
ou bien encore
^r^ ITT
(Wa-4-n«iK')
En partant de là et à Taide de la relation 011 trouvera ensuite
puis, par une transformation facile,
Dans cette nouvelle série réunissons les termes qui correspondent aux valeurs n ei — n — i, on pourra écrire
Ui(x) = îiv^y > v^y'=»"^"'cos ^1^-^ — »
n parcourant alors la série o, 1,2, . . . , et Ton en conclut
Hj ( - -^— J — i^tj cosic -h 2/7® cos3a7 ■+• a/y^'cosSa: -h . . . .
Ces deux formules, en y changeant xenx -h ? donneront enfin
0 I I — I — a^ cos'2ir-l- 2</*cos4jr - • î^'cosoa:^-. . .,
H / ~ j = i^q sîn^ — 2v^^9 sin3ar-H av/^"sin5a? — . . . .
Telles sont, sous les formes de produits infinis et de séries, les transcendantes dont nous allons établir les propriétés.
