V. — Sur les expressions en nombre infini des fonctions

de Jacobi,

Les équations fondamentales (p. 758), de la forme

e(2:-h2tK') ~^{x)e *

ITT, .„.^

«(ï:-+-tK';-(H(3-)e •■*

conduisent facilement, comme nous allons le faire voir, à ce que Jacobi nomme la théorie eles formes en nombre infini des fonctions B.

Considérons d'abord la première; on eu déduit successivement

d'où, en multipliant membre ;"i membre.

Ce résultat suppose w) positif; mais, en changeant ^ en — -r, on reconnaît facilement, 6(,r) étant une fonction paire, qu'il a lieu également pour /» négatif. On en déduit ensuite, en employant la seconde égalité.

Cela étant, le même calcul, appliqué auv autres fonctions, donnera les deux systèmes suivants de relations

e [x-l-('2m-i-i)tK'] = (— i)'»m(ar)e *'^

IlrH»//H-l)/K') ;ir-»-{J/w-»-l)/K'l

H [:r--(2m-^ i)iK']r^(— i)'"ie(a')e **^

H|[a?-4-^2/?i-î-i)iK ]= -i-ei(a:-)e ♦^^ Soit maintenant

a étant impair, ^ pair; je change x en a?-hfirK dans les équations (A), et je suppose m r= -• Le facteur exponentiel

« •»^ devenant e '*^ ^ 2 / ou bien

peut s'écrire ainsi

ahiTZ ih'K , ,.

Kn observant ensuite que le nombre entier a est impair, on a

e (x-^aK) —-4- 6,(37), 81(37 -+-aK) =-4-6(37),

H(jr-^aK)= (—1) « H,(tj.

H,(37-haK)= (-1) « U^x); les équations (A) donneront donc celles-ci

6 (ar-,-L^ = a6,(:r)e~*K^*'" '■''', H (x^L)=-.^U,{x)e'''^'''"''\

OÙ j'écris, pour abréger,

iab-hi/f\i'K

{ab ^-ta-i-tb—DiTZ

nbiiz

(ab +-îfl-t-«)/ir

Ces expressions conduisent, comme il est aisé de le voir, aux égalités

d'après les conditions a ^ i, b == o (mod2). Soit, en second lieu,

c étant pair et d impair; nous changeons a? en j? h- cK, et nous prendrons 2m -{-i = d, dans les équations (B). A la

I j r » »• I TT [JX-+- lm-f-l)ik'I

place du facteur exponentiel, e ^*^ , on

a alors

cHilZ idlZ,^ .,,

et, au moyen des relations

e,(a:H-cK)=-4-ei(a:),

H(37-l-cK) = (— i)îH(ar),

H,(arH-cK) = (-i)«H,(a?), on obtient celles-ci

e (ar H- iL')= a' H(a7)e"" *«■'*'■' '^'\

011 Ton a posé

{cd — lc—id)in

(crt-

(rrf-

-JOl-ïC

cdilZ

et Ton vérifiera, comme précédemment, les égalités

Voici maintenant les conséquences à tirer des résultats que nous venons d^obtenir. Introduisons les fonctions ainsi définies

iizbx* i'Kh.r*

ni(a:) = Hi(ar)e"nïL",

an moyen de l'identité évidente

/■ (a7-»-L)» x^ __^x-\-L 4 KL 4KL ~ 4K '

les équations (C) nous donnent d'abord

/ * ( X -i- L ) = OL ^i(x),

\ n (>-hL) = pn,(a7), (h) <

4>i(ir-+- L) = Y*(^)>

13e ces relations, en se rappelant, que a^ = i , pS =- — i , on conclut ensuite

/ * (a?-HaL) =-+-*(a?), \ Il (:r-+-aL)--n(:r), j *i (a? -f- 2 L) = -f- *i ( J7 ), \ n|(ar-+-aL)=— ni(ar).

Considérons maintenant le sjslème (D) et employons Tégalilé