L:rzaK-4-ï6K
donnent, en posant ad — bc^=z /i,
û?L — t6L' = /iK.
Nous pouvons donc écrire
ibh' d n "kl ~ K ~ L ' et nous en tirons
* {x --1- iV) ~- oL'Uixje"^^' itr-^iV) ^ Il {x-^-iV) = ^'<P(x)e *L^''-^"^\
ni(ar-+-i:L') ^6'^{x)e ^^
Changeons ensuite a: en a; -\- «L', au moyen des conditions ol' P' — - — 1, y'o' --: I , ces relations nous donnent
* (arn- 2iL') =-- n(fl7)e *• •'^-' ' ^
n (x4-2iL')=-*(:r)e -r<'-*-'^''^
*i(a7-:-2iL')=-l-n,(.r)e~~L"^^"^''''\
l IIi(a7-^ %iL') =-h^i{x)e ^ ' .
Les équations (E), (F), (G), (H) sont d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques; elles sont le fondement de la théorie de la transformation, et
ouvrent la voie pour parvenir aux formules qui expriment les fonctions aux périodes 2L et 2iL' au moyen de celles qui ont 2 K et 2 /K' pour périodes; mais c'est seulement le cas particulier où l'on suppose /i = i qui nous occupera en ce moment. On voit alors, en rapprochant les relations* (F) et (H), que 4>(x), 4>i(d-), 0(0;), lli(j?) sont définies par L et L' de la même manière que les fonctions de Jacobi au moyen de K et K'. On remarquera aussi qu'en posant
pour mettre en évidence les parties réelles et les coefficients de iy l'égalité
a-i- ù(g -h ih) donne
La quantité II est donc positive comme A, et le module de la constante que nous désignons par Q, en posant
est moindre que l'unité. Cela étant et d'après ce qui a été précédemment établi sur la manière la plus générale de satisfaire aux relations (F) et (II) par des fonctions holomorphes, nous pouvons écrire
|*f ~ — - j = C(i — a Q 008 207-+- 2 Q* ces 4^7 — 2Q®cos6j7-^. . .) n('-—) =G'(2v"'Qsinir- -2v^Q^sin3:r -+-2v/Q*'*sin5a?-+-. . ) 4>i( — — j = Gi(i-4- 2Qcos2a? -h 2Q*cos4^ --2Q3cos6iFH-. . .) nY^^=G;(2v/Qcos^4-2v/(?cos3a7-H2v^Q«cos5a?^...).
780 NOTE SLR Là THÉORIE
Les coefficients C, C, Ci, C\ représentent dans ces Tormules des constantes, et nous ferons voir, en dernier Heu, quMls s^expriment par un seul d^eotre eux.
A cet effet, je remarque d'abord que les relations
<ï> (ir -+- L ) = a 4>i (a:), n(a:-+-L) = pni(a7)
donnent immédiatement
04= Ga =Ce
(rti-+-lrt-»-îA— J)/<TC
G' =C'3 = Cc
Employons ensuite l'égalité
^/ T/N fTT/ ^ — 7---(aX-+-lL')
^{x-h iL) = aU{x)e *l
"^<îjr-4-/L')
d'où l'on tire
et l'expression de *(^), sous cette forme
*(ir) = GV(— i)«Q«'e
ntTZx
(yi = O, dl I, ±2, . . .)•
On trouvera ainsi, pour le terme général du second membre,
ou bien
et par conséquent
(l)«J/Q(t/»-+-l)«C ÏL j
Cette expression se reproduisant sauf le signe lorsqu'on change /i en — n — i, nous pouvons écrire
ce qui donne la relation cherchée
d'où Ton lire
a On verra bientôt une application de ces formules.
VI. — Relations algébriques entre les fonctions de Jacobi: définition de sno?, cnj?, aux. Équations différentielles et inversion de l'intégrale elliptique de première espèce.
En employant dans ce qui précède la considération de la fonction
pour le cas de A:= 2, nous avons supposé
a = 4 K, b=iiK\
Désormais nous garderons pour périodes ces deux, quan- v tités, et nous ferons par suite } '
ao
avec la condition
ce qui donnera, comme nous Tavons établi, la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières uniformes aux deux conditions
*(arH-4K) =<ï>(a?),
Cette solution générale renfermera donc, pour A: = 4 P^^ exemple, quatre constantes arbitraires, que Ton mettra en
782 NOTB SUR Là théorie
évidence en dislinguant ces quatre formes de l'iudîce m =: ^rift^n -\-iy 4^* + 2, 4i t- 3; on obtient ainsi
^{x) = ao^q^'' e
\7 fi — '♦"■^''TîT
ax2^q > e ^^
( iw-f-3)* ( 4 II -»-3) iTC.r
OU, pour abréger,
4>(a:) = rto*o(^) -^ «i*i(^) -^- ^2*2(0?)-+- a3*a(-r). Par là on voit que, dans le cas de
4>(a:-f- aK) = *(a?), la solution est représentée par
et ne contient plus que deux constantes. De même, en supposant
on aura encore avec deux constantes arbitraires seulement
Ainsi nous avons la solution la plus générale de ces deux systèmes de conditions, savoir :
' <ï>(a7-+- aK) = ^{x\
[ ^{x -ir-iiVi!)^^{x)e K '•^■*"' ^ / *(a?^-2K) =r-- *(a;),
