III. — Duplication de r argument

Les formules pour l'addition de deux arguments donnent,

sn:r

cna?

ÙÏ\X

8f4 I<IOTK SUR LA THfiORlB

en les supposant égaux, les expressions suivantes

2 sna cna dna

sn2a= r- — ,

1 — A:*sn*a

I — 1 sn*a -♦- X:*sn^a

cnia =

dnaa =

1 — k^sn^a I — A*sn^a

On en tire ensuite, par un calcul facile,

(cna-f- snadna)*

H- sn2a = -^ ,. -. ,

1 — A:*sn*a

(âna -h k sna cna)'

-4- ksnia =

1 — A:*sn*a

•2 en* a -h en 2a = - — . -

— cn2a =

dnaa = (1 n 2 a =

1 — A:»dn^a'

2 sn'ûr dn*a 1 -- A-^sn^rt

I — k^sn'^a I — k^sn'^a

... ( ik 9>n a -h en a an a)^

cn2a-h tA- sn2a = ,- — , j

I — Ar'sn^a

( A:' sn a -4- en a dn a )»

I — A:*sn*a

dn2a -+- A:'sn2a =

Nous remarquerons que les numérateurs des fractions dans les seconds membres sont des carrés de fonctions uni* formes, et on vérifie aisément que les deux termes n'ont dans aucun cas de facteurs communs. En faisant 2a=:a?,. on en tire ces expressions, qui ont un rôle dans des questions importantes,

m-snar =

khHo)e(x)

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8l5

[e(î)e,(f)-.HWH,(f)]-