IV. — Multiplication de l'argument par un nombre

entier,

On a vu que le théorème d'Abel donne pour Texpression de sn (a 4- 6 -h ... 4- g), où les arguments sont en nombre quelconque égal à m, une fonction rationnelle des quantités

enadna, cn^dn^, ..., cn^dn^.

Nous avons donc, en les supposant égaux entre eux, la formule suivante

sn(ma) = ^(sna) + CDadna^i(sna),

les fonctions <p(sna) et (pi(sna) étant rationnelles en sna.

Au moyen des valeurs de

cn(a-H6-4-...-4-^) et cln(a -^ 6 h-. . .H-^), on trouvera semblablement

cn(ma) = ^(cna) + sna dna({/i(cna), dn(/na) = 6(dna) + sna cn^76|(dnaX

en désignant encore par 4'(cna), 6(dna), . . . des expressions rationnelles en en a et dna, mais ces formules se simplifient comme nous allons le montrer. Changeons en eflet a en — a : les quantités en a et dna conservent la même valeur, tandis que sna change de signe; il faut par suite que les quantités 4^1 (en a) et Oi(dna) soient nulles, ce qui

nous donne déjà

cn(ma) = «{/(cna),

dn(/na) = 6(dna).

On voit en même temps que (p( sna) et (pi (sna) doivent changer de signe avec sna; on peut donc écrire

sn(ma) = snacp(sn)a) H-snacnadna(pi(sn^a).

Nous ferons un pas de plus en remplaçant a par a + 2K

et distinguant alors le cas de m pair et de m impair. Les

relations

sn(a-4-2K) = — sna,

cn(a H- 2K) = — en a,

dn ( a -4- 2 K) = -f- dû a

montrent sur-le-champ qu^on obtient, dans le premier cas,

sn(/na) = sna en dna^i(sn*a),

et qu^il vient pour m impair

sn(7na) = 8naç(sn*a).

Enfin il résulte des égalités

cn(a -4- 2K) = — en a, dn(a-H2iK') = — dna

que les fonctions ^{cna) et O(dna) gardent la même va-

8l8 NOTE SUR LES THÉORIES

leur ou changenl de signe avec en a et dna, suivant que m est pair ou impair, d^où ces nouvelles formes

da(ma) = ô(da*a) et

cn(ma) = cnai|/(cn'a),

dn(ma) = dna6(dn'a),

pour le premier et le second cas.

'La question de la multiplication par un nombre entier de Targument des fonctions elliptiques est d'une grande importance et demanderait des développements étendus. Je me bornerai à quelques points concernant, lorsque m est impair, Texpression

sn( ma) = ;^-,

où U et V sont des polynômes entiers en sna, et je déterminerai en premier lieu leurs degrés par rapport à cette quantité.

J'observe à cet effet que, si l'on pose sna = j?, on forme une équation dont les racines sont données parles formules

suivantes

4/iK-4-2i/i'K'-+- ma

a? = sn

(4v -h 9.)K-4- 2iv'K — ma

a; = sn -^^ y

où n et n! d'une part, v et v' de Tautre sont des entiers arbitraires. Mais, en faisant

la seconde devient

a? = sn( aK —

4 /i K -4- 2 in'K' -H ma \ m /

et se ramène ainsi à la première, puisque Ton a

8D(aK — m) = snw.

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 819

Cela étant, nous obtenons les valeurs distinctes qu^elle peut représenter, en prenant pour n et r/ des entiers inférieurs à m, ou encore les termes de la suite

o, it: I , zh 2, . . . , rt ,

et Ton voit immédiatement qu'elles sont en nombre égal à

Soit en particulier a = o, Féquation proposée devient alors U = o, avec une racine nulle qui correspond à n =: o, n' = o, les autres étant deux à deux égales et de signes contraires. Il est ainsi démontré que U est un polynôme de d^gré m^ en Xy qui ne contient que des puissances impaires. Nous obtenons ensuite Téquation V = o, en prenant a = iK', ce qui donne pour Fexpression des racines

c'est-à-dire

ATsn - — :

ce sont donc les inverses de celles de Téquation U = o multipliées par le facteur t? et Ton voit qu'à la racine nulle

correspond une solution infinie qui est à exclure, les autres étant encore deux à deux égales et de signes contraires. Nous établirons ainsi que Y est un polynôme de degré m^ — 1; ne contenant que des puissances paires, et en même temps on obtient cette conséquence importante, qu'en posant

U = a?F(a:*) on a

Je considère maintenant l'expression i — sn(/na) : je

8ao nOTB SUR lbs théories

la représente par -rri gd faisant, pour abréger, V — U^=W, et je remarquerai qu'on a sn(ma)^i, si l'on suppose a=mK, le carré m* étant = i mod 8 ; les racines de l'équa tion Wzz: o sont donc

L'une d'elles, qui correspond à n=zo, n'=: o, a pour valeur

les autres, qui obtiennent par des valeurs égales et de signes contraires des entiers n et n', coïncident en vertu de la relation

sn(mK-f-i) = an(mK-i)

et nous allons montrer qu'elles représentent des racines doubles de l'équation proposée.

Qu'on prenne en effet le dérivé par rapport à x de l'égalité

, , w i-sn(mo)=y,

on parvient à la relation

mcn(ma)dn(mti) WV;.-VW;.

coadna V>

Or la condition sn(m<i) =1 donnant ca(ma) ^o, nous voyons qu'on a à la fois W=:o, W'^^o, i moins que le dénominateur en a ne s'annule, ce qui arrive en effet pour la valeur a = mK, à laquelle correspond une racine simple.

Posons, pour abréger, t = ( — i) ' .let désignons par P un polynOme de degré > nous aurons l'égalité suivante, qui est d'une grande importance, \-~V={i~tx)P*.

DES F01TGTI0N8 ELLIPTIQUES. 82 1

On en tire, si l'on remplace a par a -h «K, ou x par -r-> la relation semblable

V — A:U = (i — eA:ar)Q«,

qui pourrait s'établir directement, Q étant encore un polynôme entier. Le changement de j? en — x donnera ensuite des expressions analogues pour V 4- U et V -+- â:U. Soit, comme exemple, m = 3, nous aurons

U = Sa? — (4 -H 4Â:«)2r»H- 6X:»iP» — A:*ir», V= I — 6A:»a?*-4-(4Â:» + 4A:*)a?«— 3Â:*ir», V — U = ( I -+- a?) ( I — 2 a? -4- a A:« ;ra — A:« 37* )«, V -f. U = (I — a:)(i -h 20? — 2 A:«:f»— A:»a?*)«,

V — A:U = (H- A:a?)(i — ikx -+- 2A:a?»— A:«a?*)«,