V -f. A:U = (i — kx){\ -h 2Â:a? — 2A:ar» — A

Sur les intégrales de seconde et de troisième espèce. Les transcendantes comprises dans la formule

l^dx

^(i__j:J)(i X:ta:«)

où P désigne une fonction rationnelle quelconque de x',

peuvent être représentées par un terme algébrique, et les

quantités

/(i — a?*)(i — X:«iP«)'

x^dx

v/(i-"a?»)(i — A:*arî)

dx (a?i— a«) v/(i — a?«)(i — A:«ar«) '

qu'on nomme intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce.

Saa KOTB SDB U8 TflCOlIBS

Voici, en premier )îeu, dans le cas oii P est un polynôme entier, comment s'obtient cette réduction.

Développons, suivant les puissances descendantes de la variable, l'expression

PlJa:

et désignons par Q l'ensemble des termes entiers en :r, de sorte que la dilTérence

ne contienne que des puissances négatives. 11 en résultera, en multipliant par

que la puissance la plus élevée du développement de la quantité

Pdx

-QAi-a^')(i-*'-r')

sera moindre que 3. Remarquant donc que l'on peut écrire

D,[Qv'(i-a'')(i-*'a:>)] = -

S désignant un poljnAme entier; on aura, si l'on pose R = P — S,

l'égalité suivante,

Pdx

V'(i-ar'){i-*>ar«)

= Qv/{i — a:')(i — it'jr»)

(|ui donne le résultat cherché. Soit, en effet, r le degré

DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. 828

de R; l'exposant le plus élevé, qui doit être moindre que 2, du développement de Tintégrale du second membre, suivant les puissances décroissantes de x^ sera r — i ; par conséquent, Tentier r sera au plus égal à 2, et cette quantité contiendra seulement les intégrales de première et de deuxième espèce.

M Supposons ensuite P^ WiT^x^ M et N étant deux polynômes, le second n^ayant point de facteurs multiples, et l'exposant n étant entier. Je remarque qu^on pourra alors satisfaire à l'égalité

M=NU — 7i(i-.a7«)(i-it«a?«)N'V

par des fonctions entières U et V, sauf le cas où N serait divisible par i — a?* ou i — k}x^. Cela étant, faisons, pour abréger,

on aura l'égalité suivante :

ndx

► r {V — v/)dx

C'est une formule de réduction par laquelle Tintégrale se ramène de proche en proche à la quantité

Ml dx

où le dénominateur de la fraction rationnelle -^ n'a que

des facteurs simples. Elle pourra donc être représentée par une partie entière et une somme de fractions de la

forme ^ ,^ > et l'on en conclut l'expression de la quan-

tité proposée au moyen des intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce.

Il est quelquefois utile, dans ces calculs, de recourir à un changement de variable; dans le cas, par exemple, de

/dx ^ T on obtient, en remiF'^v^Ci — j?«)(i--A:*a?«)

plaçant x par -r-y la quantité

qui se ramène, comme nous l'avons vu, aux intégrales de première et de deuxième espèce. Il en est de même de

Texpression / ? à laquelle ie

m^arrèterai un moment. Soit d^abord J7*=^; elle prend cette nouvelle forme

I r dj

et, si Ton fait ensuite on obtient la transformée

qui se réduit encore aux intégrales de première et de deuxième espèce, et, par conséquent, aux deux cas où Texposant n est zéro et l'unité. Revenons maintenant à la variable l et laissons de côté la partie algébrique. On retrouve, si Ton suppose /i = o, Tintégrale

dî

DES FONCTIONS ELUPTIQUES. 8aS

et, pour n=zi, la quantité

dont l'expression s'obtient au moyen de la relation

On en tire, en effet,

l. — Expression, par la fonction 6(d?), rfe^ intégrales de deuxième et de troisième espèce.

Nous avons déjà employé (p. 782) la fonction holomorphe ^{x) qui satisfait aux conditions

*(j?-4-aK) =«ï»(jr),

et nous avons établi qu'elle s'exprime linéairement en 6'(j7) et H' (a:); on a donc en général, avec deux constantes arbitraires C et C,

Cela étant, je remarque que ces égalités sont vérifiées,, ainsi qu'on le voit immédiatement, si Ton' prend

*(ar) = H(a7-4-a)H(ar — a) ou bien

*(a?) = 6(0: + a) e(jr — a).

J'observe aussi que la première de ces expressions s'annule pour a? 1= a, et la seconde pour a? = a 4- iK'. Faisant donc d'abord

— i^ — i^ = C(sn*ar — sn*a),

j'obtiendrai, pour j: =r o,

Â:e«(o/ ce qui donne la relation

e»(o)H(jr-i-a)H(a? — a) A:9*(iF)9*(a)

Nous poserons ensuite

ou bien

= C[sn«ir — sn«(a 4- iK' )]

-i ' \ ^ = C'(i — A-* sn«iF sn«a ),

et Ton trouvera, après avoir déterminé la constante C,

— r.^, — ^ J^i \ = I — A:* sn«ir sn*a.

C'est de cette seconde égalité que se tire l'expression analytique découverte par Jacobi de l'intégrale de troisième espèce, en la prenant sous la forme suivante :

Soit, à cet effet, ^ = sn^, ^ = sna, et posons

UiT,a)=f

k* sna cnadnasn'â?£^

^ I — ^*sn«asn*a7

Nous remarquerons qu'en différentiant par rapport à la constante a les deux membres de l'égalité

log(i^X:»sn«rrsn«a) = log ^ eH^)e«(a) *

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 827

on obtient pour la quantité qui figure sous le signe d^intégration cette expression

k^snacnadnasn^x B'(x — a) S'(x-v-a) B'(a)

I — ^*sn»a78n»a S{x — a) B{x-i-a) ®(«)

et nous en concluons immédiatement

En partant deTéquation

\og(sn^x - sn'a) = log >^e«(a7)e«(a) •'

on trouvera par le même procédé cette formule, où il faut supposer x <ici >

snacnadnadx ^ i . H(a — a?) 6'(a)

sn*a7 — sn«a ~" a ^H(aH-ar) 6(a)

Elle a été donnée par Jacobi, et d^autres semblables résultent des égalités suivantes, qu^l est facile d^obtenir :

,* • . ,/, k'e^(o)ei(x-^a)Bi{x—a) k^cn^xcn^a^k'^ = e»(:r;e>(a) ^'

dn«:rdn»a>.A-«=^^'^^'^-)»;i^-^,^)"><-— -->.

Revenons maintenant à la relation

k^anacnaànasn^x B'{x — a) B'(x-ha) S'(à)

et supposons a = o, on trouve ainsi

A:«sn«ar= — Dor^T-T -*- -^T-r^

û* /^\ Gela étant, soit, pour abréger, Ç r= - -r >et posons

Z(ip)= r A:«sn»a:ûtr;

8a8 NOTE SUR LA THÉORIE

cette nouvelle égalité nous donne

c'est Texpression de l'intégrale de seconde espèce

/(,Çî)(,A:«?«)

lorsqu'on introduit la variable ( = snor, et qui conduit aisément, comme on va voir, à ses propriétés fondamentales.