II. — De la fonction Z(j
La première de ces propriétés est de n'avoir qu'une seule et unique détermination pour toute valeur réelle et imaginaire de la variable. C'est aussi ce qui résulte de la
considération de l'intégrale 1 k*SD}dx. En effet, pour
Jo
l'un quelconque des pôles de sn'ar, à savoir
37= a/nK-t- (a/i-{-i)iK',
le résidu correspondant, c'est-à-dire le coefficient de -
dans
A:«sn*[awK-h(2/i-f-r)eK'-i-6l = — r-> ^ . ■• sn*8
s'évanouit, car sn'e ne contient que des puissances paires de e dans son développement. Nous pouvons ainsi poser, sans aucune ambiguïté, en adoptant les dénominations de M. Weierstrass,
J= / k^sn^xdx, iJ'= / k^sn^xcLr.
Jo J^
Ces quantités, qui correspondent à K, K', s'expriment, lorsqu'on suppose le module réel et moindre que l'unité.
DBS F0NCTI0)I8 ELLIPTIQUES. 829
par les intégrales définies
On doit remarquer, toutefois, que J' ne se déduit pas de J en 7 changeant k et k*. Soit, en effet, x'=r$, ce qui donne d^abord
on trouvera, en faisant ^z=z — ,-i — ^» cette transformée
et, par conséquent,
De là résulte que J devient K' — J' et non point J', lorsqu'on y remplace k par k\ Mais il existe des développements en série de forme absolument semblable à ceux que nous avons indiqués (p. 8o3) pour K et K',
Soit, en effet.
puis
el, en général,
/I.3...271 — 3\« an — i i .... -h ( —, ) A:*",
83o NOTE Bua là'théoeib
nous aurons
J'=Slogi + i-(S-S,)-::^(S-S,)-^-^(S-S,)-...,
Ces formules, qui ont été données par M. Weierstrass, peuvent se tirer des équations suivantes
J ^ — kk'ï>k{k'K), y = —kk'l>k{k'K'),
et Ton conclut aussi de lapremière que le quotient
satisfait à la relation
J'arrive maintenant à la proposition importante exprimée par l'égalité
KJ'— JK'==î:
elle s^établit au moyen de la formule en remarquant que Ton a
j = zrK),
JH-iJ'=Z(K-HtK').
Posons, à cet efTel, ^ = K; la dérivée 6' (a?) s'annule, et l'on obtient, pour la constante C» cette nouvelle expression, à savoir Ç= i? ' •'^ change ensuite x en j?-hK-HiK', et j'emploie la relation
e(:p-f.K4-iK' =« ** H,(;r);
DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 83 1
oa en conclut, en prenant la dérivée logarithmique,
B(x-hK-h iK') " aK ■*■ Ui(x) et, par conséquent,
Z(;r-t-K-+-iK')= =i(ar-f-K-+-lK')-f■-^-^4^^ ^ ' K^ ^ 2K Hi(a7)
Cela étant, faisons a? = o ; la dérivée de la fonction paire H|(j?) s^évanouit, et Ton trouve ainsi
JH-iT=i(K4-i'K')H-ij;
c^est, en réduisant, Tégalité qu'il s'agissait de démontrer
KJ'-JK'= -.
Voici maintenant la propriété de Z( j?), que Ton doit regarder comme caractéristique, elle consiste dans les relations
Z(a7H-2K) =Z(a?)-i-aJ,
Z(a7-haiK') = Z(a7)-f.atJ', qui résultent immédiatement des égalités fondamentales
Changeons, en effet, o! en x -h 2K dans Téquation
et employons la valeur
on aura
Z(* + aK)=i(a? + 2K)-|^ = Z(T) + 2J.
S. — Cale, int, 53
83 a NOTB SUR LA THÉORIE
On trouve ensuite, si l'on remplace x par x -4- a^ K', ,
= Z(3?)4-2lT.
Nous obtenons ainsi la notion d'un nouveau genre de fonctions qui, étant uniformes, se reproduisent avec l'addition d'une constante lorsqu'on augmente l'argument des quantités 2K et 2/K'; plus tard on verra le rôle et l'importance de cette propriété.
En dernier lieu, nous remarquerons que la relation précédemment employée
X:«snacnadnasn*a? __ 6'(a7 — a) 6'(a?-4-a) ^'(«) ^ i--A:*sn2asn«a? "" e(a7 — a) "" e(a:-f-a) "*"* e(CT)
conduit à un théorème pour l'addition des arguments dans la fonction Z(a?). Elle peut, en effet, s'écrire sous cette forme
en permutant x et a, on en conclut ensuite, si l'on observe que Z(â7) change désigne avec x^
2 ^ — ^ =Z(ar — a)4-Z(a?-+-a) — 2Z(ar),
I — A:*sn*a?sn*a ^ ^ ' '^
et ces égalités, ajoutées membre à membre, donnent la relation
Z(a7 -h a) = Z(ir) -h Z(a) -h k^ sna: sna sn(a? -H a).
