III. — Z>e la fonction n(a7, a

A. — Échange de Tamplitude et du paramètre. On désigne ainsi les quantités jt et a qui figurent dans

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 833

Pintégrale

„, . r'k*9nacïïadna&n*xeix U{x,a)= I j-z — ,

et le théorème que nous allons démontrer consiste dans

Tégalité

n(a?, a) — n(a, a?) = aZ{x) — xZ{a),

où le second membre contient seulement les fonctions de seconde espèce.

Il découle immédiatement de la formule de Jacobi, qui a été établie page 827,

II(a7,a) = floff ~ ■■ "t-a?^; /.

^ ' ^ * s e(a-t-ar) e(a)

On en tire, en effet, en permutant x et a,

TT/ X 11 d(a? — a) e'(x)

puis, si Ton retranche membre à membre,

II(â7, a) — U(a,x) = x — r — - — a — ^ — ■ * et il suffît d^employer les relations

pour parvenir au résultat annoncé.

Il prend une autre forme si Ton introduit les quantités ^ = sn'o^y C = sn'a ; on trouve ainsi, en faisant, pour abréger récriture,

834 "<>*> SDB LA TBAOklI

On peut alors en donner une démonstration directe que je supprime pour abréger, en renvoyant à un article des Œuvres d'Abel, où l'on trouvera une proposition toute semblable et d'une grande importance, pour les intégrales byperellip tiques d'ordre quelconque (Sur une propriété remarquable d'une classe étendue de transcendantes, t. Il, p. 43).

B. — Des (onctions complètes.

Il est nécessaire de définir le chemin suivi par la variable

, 1,. , 1 /''A''snacn(idn(jsn'a:<iB , ,,

dans I intégrale / — r; — ^ — ; 1 pour qu elle ait

un sensunique. On obtient en elTet, si on le laisse arbitraire, une infinité de valeurs que donnent les déterminations multiples du terme logarithmique dans la formule de Jacobi. Nous nous proposons de lever cette ambiguïté i, l'égard des fonctions complètes

aAaain^xdx

— A'sn'asn'x

■sna caaAaaia'^xdx

en admettant que, dans la première égalité, la variable passe par une suite de valeurs réelles, et qu'on ait pour la seconde jc ^ K + û, i étant réel et croissant de zéro à K'. J'emploierai d'abord les expressions

et je remarquerai qu'ayant

e(K-4-tK'— ff)

DE8 PONCTIONS ELLIPTIQUES. 835

on en conclut ces valeurs

OÙ (x et p.' sont des nombres entiers qui restent à déterminer.

Remarquons dans ce but que, les deux intégrales étant nulles pour a = o, on aura (ji:=:o et fi.' = o, dans toute la région du plan où elles sont fonctions continues de a. Nous observerons ensuite qu^elles ne changent point lorsqu^on y remplace a par a + a K et par a + a iK\ ce qui n^a pas lieu

pour les quantités K ^; , et — r^ -4- K' ^, "» La première '^ ^ ®(«) 2K ®(«)

admet la période a, mais Ton trouve, en mettant a-h2miK' au lieu de a,

-.e'(a-h2miK') ^e'(a) 6(a4-2/nïK') ©(»)

Il n^est donc possible d^obtenir la double périodicité qu'en introduisant une discontinuité, en admettant que Tentier p. change de valeur et devienne égal à m, lorsque a s'augmente de 2miK', A l'égard de J^ une conclusion semblable se présente :

la fonction -|^ -h K' admet 2 iK' pour période, comme

le montre l'égalité

e^(a-4-atK0 ex g) __ ijt

e(a-4-aiK') "" è(a) K'

et pour avoir la période aK, jjl' doit prendre la valeur — /n' quand on change a en a 4- a/n'K.

Ces résultats montrent la nature analytique des fonctions complètes 3a et J^, sous un point qui parait digne d'attention; j'indiquerai une seconde méthode pour les obtenir.

En premier lieu, je remarque que les intégrales définies

dont nous nous occupons deviennent indéterminées si l'on a entre les limites

I — X:* sn*a sn*d? = o, c'est-à-dire

a = a/nK-H(2/i-hi)*K'±a?,

m et n désignant des entiers arbitraires.

Faisons d'abord varier x de zéro à K, 2mK±x représentera, pour les diverses valeurs de m, une quantité réelle quelconque; la condition posée donne par suite toutes les parallèles à Taxe des abscisses, au-dessus et au-dessous de cet axe, à des distances égales à K', 3K', 5K', .... Entre deux parallèles consécutives, J^ est donc une fonction continue, et les parallèles comprenant l'origine limitent la portion du plan où le nombre (x reste égal à zéro.

Supposons ensuite x=zK-\- is et faisons varier s de zéro à K', on aura alors

a = (2m-Hi)K-f-(2nH-i)iK'zb5,

et pour séparation des intervalles dans lesquels J^ est continue, les parallèles à droite et à gauche de Taxe des ordonnées aux distances de cet axe égales à K, 3K, 5K, . . .. Les intersections de ces droites déterminent des rectangles et Tun d'eux, qui contient l'origine, représente la région où l'on a à la fois [x = o, [a' = o, et par conséquent

C'est seulement à l'intérieur de cette figure qu'a lieu la relation

Kj;-K'J«=— ,

semblable à celle qui a été établie (p. 83o) entre les intégrales complètes de première et de deuxième espèce et qui la comprend comme cas particulier pour a infiniment petit.

DBS PONGTIOlfS BLUPTIQUES. 887

J'arrive mainlenant à la détermination de J^ et J^ ; je ' prendrai pour- point de départ, en considérant en particulier la première de ces quantités, Tex pression suivante :

Elle montre que Tentier \l qu'il s'agit d'obtenir est donné par Tégalité

ou plutôt, puisque l'intégration porte sur une fonction paire de la variable.

^^^^ iJ^u le(a?-a) e(ar-Ha)J '

et je ferai immédiatement la remarque que, en changeant a en — a, [X change de signe.

Cela étant, j'ai recours à cette formule

sin

7ZX

ces

(2v-t-i)iicK' K

ces

ira?

qu'on tire de l'expression de 6 (a;), sous forme d'un produit de facteurs. Elle conduit à envisager les intégrales définies

sin jT dx

(av-f-i)iirK' it(ar — a) cos ^ ,^ ■ — ces ^^

838 IfOTB SUR Là théorib

qu'il est aisé d'obtenir. En changeant de variable et posant

/Itf.r— /r)

z^ e ^ , on a, en effet, pour transformée l'intégrale curviligne

r . (2v-f-i)titK' V

-«1^*— 2-5 CCS ^ ~ hl

prise le long d^une circonférence de cercle ayant pour rayon

l'un

R = mod e ^ .

Les pôles de la fonction

(2V-f-l)t1tK'

Z^—1Z COS i^ -rp h I

sont

et les résidus qui leur correspondent — i, •+- 1, -h i. Nous n^avons donc plus qu'à reconnaître ceux de ces pôles qui se trouvent à Pintérieur du cercle pour appliquer le théorème de Cauchy.

Soit pour cela a = ( + iC; admettons que C soit positif, supérieur à (2in — i)K' et moindre que (am + i)K'. Si on suppose v = o, i, a, . . ., m — i, la circonférence ayant pour rayon

comprend les trois pôles, mais deux seulement pour v = //j, m -h I , . . . , à savoir

^ = o et z = c ^

Dans le premier cas, la somme des résidus est Tunité : elle est nulle dans le second; nous avons, par Conséquent,

/v(a) = ai7r ou /v(a) = o,

BBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 889

suivant que v est plus petit ou plus grand que m, ce qui nous donne

Ke'(ar — a)

dx = 2/nir.

Changeons ensuite a en — a, on aura alors

R = c ^ et le contour d'intégration renferme seulement le pôle

z = o pour V < m, puis deux.

(lv-»-l)nK'

s = o et ^=:e K pour v > m.

On en conclut

/v(— a) = — 211C ou /v(— a) = o,

suivant que v est plus petit ou plus grand que m et, par suite,

I TTT : air = — a mur.

Nous retrouvons ainsi la valeur \k-=im par une méthode directe, et nous mettons en évidence le caractère -particulier des droites qui limitent les intervalles où J^ est une fonction continue. On voit que, en franchissant une de ces lignes, ia s'augmente de tic, et par ce changement brusque devient fonction doublement périodique, mais discontinue de la variable.

J^omettrai, pour abréger, Panalyse toute semblable qui s'applique à la seconde fonction complète i'^y en employant

la formule

. ira?

e(K-Ha;)~ 2KK' iK!2à (2VH-i)«7rK' 'kx'

84o NOTB SUR LA. THÉORIE

IV. — Expressions analogues à V intégrale de troisième espèce. Addition des arguments.

Les relations établies page 827,

— i — - — — ^i ' =1 — k^ sn'o? sn*a,

e«(o)H(iFH-a)H(ar — rt)

— ^^ — —r^ — i • = 811*37 — sn*a,

Ae«(ir)e«(a) '

conduisent, en difTérentiant par rapport à a, intégrant par rapport à a;, à ces expressions, la variable x dans la première devant être moindre que le paramètre a :

X* snacnadna éfa? __ I . H(a — rr) ^'(œ)

8n«a?— sn«a "" * ^^ H(ar-+-a) "^^e(â")'

' Ar'snacnadnacn'jîcto 1, 61(0? — a) 6'(«)

[, X:*cn>a7cn*a-t-A:'* "* ^^ ei(a?-f-a) '*"^'ë(â7

/' Ar'snacnadna dn»j?</a!? j . H|(a? — a) 6^(a)

dn«a:dn«a — A:'« "" » ^^ H,(a?-t-a) "^ ^ e(a)*

D'autres que j^indiquerai encore résultent des relations qu'on trouve en multipliant membre à membre l'égalité

avec les suivantes :

I H(a7H- a) __ sna?cnadna-i- cna?dna?sna ^jf 6(37-4- a) "" I — A:«sn«a7sn*a

A:' Hi(a7H-a) cna?cna — snâ?dna?snadna X: 6(£P-+-a) ~ I — X:*sn*a?sn*a

rpSt(ûp-ha) __ dna? dna — k* sna? ena? sna cna •^ 6(a7-f-a) "" I — X:*sn*iF8n»a

D£8 FONCTIONS BLLIPTIQUBS. 84 1

Nous avons ainsi

e»(o)H(x-t-a)e(iP — a)

= cna? CD a — sno; dnâ? sn a dn a.

= dnâ7dna — X:*snarcna? snacna,

v/ite«(a:)e«(a) v/Fe«(o)H|(ar-t-a)e(a?— g)

v^e*(iF)eHa)

v/Fe«(o)ei(ar-f-a)e(g— g) e«(ir)e(g)

et le même calcul donne les formules suivantes :

snrrsng(i-h k* — aA:*sn*g) — cnrrdnâ?cng dng snrrcngdng + cnâ;dnrr cagdng

, e(ar — g) e'(a)

cn:r sngdng + sn:rdnrrcng(2^* sn*g — i) ,

-3 j ctx

cn:r cng — snj; aax sng dng

e(ar — g) e'(g)

dlr

dnrr sngeng + snrr cnrr dng(2sn'g — 1) . dnâ7dng — A:* snâ?caâ?sngdng

*ei(a? — g; e(g)

Je les indique à cause de la simplicité des résultats, mais, au fond, ces diverses expressions se ramènent à la quantité que nous avons représentée par U(x,a),

Soit, par exemple,

r'snacnaânadx

ixya)- J

r^ sn>a7 — sn'g

on vérifie immédiatement que Ton a Tégalité

cngdag

4>(ir, g) = II(a?, g-t-iK') — a?

sng

Cette intégrale présente plus de facilité que celle de Jacobi pour établir les théorèmes sur Taddition des arguments : j'en ferai usage dans ce qui va suivre.

8^2 NOTB 5CR LA THfiORIE

DifTéreivtions, par rapport au paramètre a, la relation

log(sn*a? — sn*a) = logH(a7-f- a)-h IogH(â7 — a)

— 2loge(rF) - 2loge(a) - log êJ^j' on aura ainsi